VOLTAR Questão 18

Fatorar consiste em representar um número ou em uma expressão como produto de fatores. Dessa forma, fatorar um polinômio significa escrevê-lo como a multiplicação de outros polinômios, conseguindo frequentemente simplificar a expressão.
Sobre fatorar o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}, assinale a alternativa CORRETA:
A) P(x)=3 x(x+1)(x+3)
B) \quad P(x)=2 x(x-1)(x-3)
C) P(x)=3 x(x+1)(x-3)
D) P(x)=2 x(x+1)(x-3)

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=2x^3-4x^2-6x
e pede que o escrevamos como produto de polinômios (fatoração). Vamos usar primeiro a extração de fator comum e depois fatorar o trinômio quadrático resultante.

Passo 2

Extraímos primeiro o fator comum x de todos os termos:
P(x)=x\,(2x^2-4x-6).
Em seguida, notamos que 2 também é fator comum em 2x^2-4x-6, logo:
P(x)=2x\,(x^2-2x-3).

Passo 3

Agora fatoramos o trinômio x^2-2x-3. Procuramos dois números cujo produto seja -3 e cuja soma seja -2; esses números são -3 e +1. Assim,
x^2-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto,
P(x)=2x\,(x-3)(x+1)=2x\,(x+1)(x-3).

Passo 4

Comparando com as alternativas, vemos que a fatoração obtida
P(x)=2x(x+1)(x-3)
corresponde à letra D.

Resposta

D) P(x)=2x(x+1)(x-3)

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