O volume
de um cilindro circular reto é dado pela fórmula
, onde
é o raio e
é a altura.
Suponha que
tenha um valor constante de 8 pol, mas que
varie. Determine a taxa de variação instantânea de
em relação a
no ponto onde
.
Suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cilindro e pede a taxa de variação instantânea de
em relação a
num ponto específico. Dados e pedido:
- Fórmula:
- O raio é constante e vale
. - A altura varia e interessa o ponto onde
. - Pergunta: determinar a taxa de variação instantânea
quando .
Passo 2
Entendendo o que é pedir
: isso significa a derivada de
em relação a
, ou seja, a variação instantânea do volume quando a altura muda. Em termos físicos,
tem unidades de área (pol
) e corresponde à área da seção transversal do cilindro (porque acrescentar um pequeno
adiciona aproximadamente a área da base vezes
). Matematicamente, a derivada é definida por
Aqui vamos usar regras usuais de derivação (regra do fator constante e da derivada de
) para tornar as contas diretas.
Passo 3
Como
é constante, podemos considerar
como uma constante multiplicativa. Reescrevendo
:
Se
é uma constante, a derivada de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
. Aplicando essa regra:
(Isto também pode ser visto diretamente a partir da definição limite:
, e o limite quando
permanece
.)
Passo 4
Agora substituímos o valor dado de
. Como
, temos
Explicando unidades:
está em pol
e
em pol, então
fica em pol
/pol = pol
, consistente com a interpretação de área.
Passo 5
Se for útil uma aproximação numérica, usando
: