O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V=\pi r^{2} h, onde r é o raio e h é a altura.
Suponha que r tenha um valor constante de 8 pol, mas que h varie. Determine a taxa de variação instantânea de V em relação a h no ponto onde h=10 \mathrm{pol}.

Passo 1

O enunciado nos dá a fórmula do volume de um cilindro e pede a taxa de variação instantânea de V em relação a h num ponto específico. Dados e pedido:
  • Fórmula: V=\pi r^{2}h.
  • O raio é constante e vale \,r=8\\ \text{pol}.
  • A altura varia e interessa o ponto onde \,h=10\\ \text{pol}.
  • Pergunta: determinar a taxa de variação instantânea \dfrac{dV}{dh} quando \,h=10\\ \text{pol}.

Passo 2

Entendendo o que é pedir \dfrac{dV}{dh}: isso significa a derivada de V em relação a h, ou seja, a variação instantânea do volume quando a altura muda. Em termos físicos, \dfrac{dV}{dh} tem unidades de área (pol ^2) e corresponde à área da seção transversal do cilindro (porque acrescentar um pequeno \Delta h adiciona aproximadamente a área da base vezes \Delta h). Matematicamente, a derivada é definida por
\frac{dV}{dh}=\lim_{\Delta h\to 0}\frac{V(h+\Delta h)-V(h)}{\Delta h}.
Aqui vamos usar regras usuais de derivação (regra do fator constante e da derivada de h) para tornar as contas diretas.

Passo 3

Como r é constante, podemos considerar \pi r^{2} como uma constante multiplicativa. Reescrevendo V:
V(h)=\pi r^{2}\,h.
Se k é uma constante, a derivada de k h em relação a h é k, porque a derivada de h é 1. Aplicando essa regra:
\frac{dV}{dh}=\pi r^{2}.
(Isto também pode ser visto diretamente a partir da definição limite: \dfrac{V(h+\Delta h)-V(h)}{\Delta h} = \dfrac{\pi r^{2}(h+\Delta h)-\pi r^{2}h}{\Delta h} = \pi r^{2}, e o limite quando \Delta h\to0 permanece \pi r^{2}.)

Passo 4

Agora substituímos o valor dado de r. Como \,r=8\\ \text{pol}, temos
\frac{dV}{dh}=\pi (8)^{2}=\pi\cdot 64=64\pi.
Explicando unidades: V está em pol ^3 e h em pol, então \dfrac{dV}{dh} fica em pol ^3/pol = pol ^2, consistente com a interpretação de área.

Passo 5

Se for útil uma aproximação numérica, usando \pi\approx3,14159:
64\pi\approx 201,06\\ (\text{pol}^2).

Resposta

\dfrac{dV}{dh}=64\pi\\ \text{pol}^2
\approx 201,06\\ \text{pol}^2

Exercícios relacionados