O volume de um líquido varia com a temperatura conforme a expressão
\mathrm{V}=\mathrm{V}_{0}\left(0,75+3.90 \times 10^{-4} \mathrm{~T} \times \mathrm{K}^{-1}+1,48 \times 10^{-6} \mathrm{~T}^{2} \times \mathrm{K}^{-2}\right), sob pressão de 1 bar. Nessa expressão Vo é o volume a 300 K e T é fornecido em K.
A compressibilidade isotérmica de um material a 300 \mathrm{~K} é igual a 3,00 \times 10^{-4} atm-1, sob pressão de 1,00 atm. Determine a pressão que deve ser aplicada a
esse material para que sua massa especifica seia 0,20 \% maior que a massa especifica sob \mathrm{P}=1,00 \mathrm{~atm}, na temperatura de 300 K .

Passo 1

O enunciado dá a variação do volume de um líquido em função da temperatura, mas como vamos trabalhar em temperatura constante ( T=300 K), essa expressão não precisará ser usada explicitamente: basta saber que a compressibilidade isotérmica a 300 K e P=1{,}00 atm é
\kappa_T=3{,}00\times10^{-4}\,\text{atm}^{-1}.
Queremos achar a pressão P tal que a massa específica (densidade) fique 0{,}20\% maior do que em 1{,}00 atm e 300 K.

Passo 2

Pela definição de compressibilidade isotérmica temos
\frac{dV}{V}=-\kappa_T\,dP
onde V é o volume do líquido, P a pressão e o sinal menos indica que, ao aumentar P, V diminui.

Passo 3

Como a densidade \rho é inversamente proporcional ao volume ( \rho=m/V), pequenas variações satisfazem
\frac{d\rho}{\rho}=-\frac{dV}{V}=\kappa_T\,dP.

Passo 4

Queremos um aumento relativo de densidade de 0{,}20\%, ou seja
\frac{d\rho}{\rho}=0{,}002.
Logo, integrando para variações pequenas e usando \kappa_T constante,
0{,}002=\kappa_T\,\Delta P \quad\Longrightarrow\quad \Delta P=\frac{0{,}002}{3{,}00\times10^{-4}\,\text{atm}^{-1}} =6{,}67\;\text{atm}.

Passo 5

Como a pressão inicial é 1{,}00 atm, a pressão final necessária é
P=1{,}00\;\text{atm}+\Delta P =1{,}00+6{,}67 =7{,}67\;\text{atm}.

Resposta

A pressão a ser aplicada é aproximadamente 7{,}67 atm.

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