O volume molar de uma solução binária é dado por: V_{m}=100 x_{1}+80 x_{2}+10 x_{1} x_{2}, onde x_{1} \mathrm{e} x_{2} \mathrm{são} frações molares. Determine os volumes parciais molares dos componentes.
Passo 1
O enunciado dá a expressão do volume molar de uma solução binária e pede os volumes parciais molares dos componentes.
Informações fornecidas:
A expressão do volume molar é V_{m}=100\,x_{1}+80\,x_{2}+10\,x_{1}x_{2}.
x_{1} e x_{2} são frações molares dos componentes (logo x_{1}+x_{2}=1).
Pergunta: determinar os volumes parciais molares \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2}.
Passo 2
O que é volume parcial molar e como vamos calcular (uma mini-aula calma).
Definição formal: o volume parcial molar do componente i é
onde n é o número total de mols e V o volume total. Essa definição diz, em palavras, quanto o volume total muda quando adiciono uma pequena quantidade do componente i mantendo temperatura, pressão e as quantidades dos outros componentes constantes.
Para trabalhar com a função V_{m} (volume por mol de mistura) é útil usar duas relações clássicas para misturas binárias:
V_{m}=x_{1}\bar{V}_{1}+x_{2}\bar{V}_{2}
e, ao derivar V_{m} em relação a x_{1},
\frac{dV_{m}}{dx_{1}}=\bar{V}_{1}-\bar{V}_{2}.
Essas duas equações formam um sistema que permite obter \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2} a partir de V_{m}(x_{1}).
Observação simpática (cheque rápido de consistência): quando x_{1}=1 (componente 1 puro) temos \bar{V}_{1}=110-20+10=100, que coincide com o termo 100 do enunciado; quando x_{1}=0 temos \bar{V}_{2}=80, que coincide com o termo 80. Isso é bom — checagem básica feita!
Passo 6
Expressões alternativas (às vezes útil em prova): escrevendo \bar{V}_{1} em função de x_{2} usando x_{1}=1-x_{2} obtém-se uma forma mais simples: