1. O volume molar de uma solução binária é dado por: V_{m}=100 x_{1}+80 x_{2}+10 x_{1} x_{2}, onde x_{1} \mathrm{e} x_{2} \mathrm{são}ã frações molares. Determine os volumes parciais molares dos componentes.

Passo 1

O enunciado dá a expressão do volume molar de uma solução binária e pede os volumes parciais molares dos componentes.
Informações fornecidas:
  • A expressão do volume molar é V_{m}=100\,x_{1}+80\,x_{2}+10\,x_{1}x_{2}.
  • x_{1} e x_{2} são frações molares dos componentes (logo x_{1}+x_{2}=1).
  • Pergunta: determinar os volumes parciais molares \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2}.

Passo 2

O que é volume parcial molar e como vamos calcular (uma mini-aula calma).
  • Definição formal: o volume parcial molar do componente i é
\bar{V}_{i}=\left(\frac{\partial (nV)}{\partial n_{i}}\right)_{T,P,n_{j\ne i}},
onde n é o número total de mols e V o volume total. Essa definição diz, em palavras, quanto o volume total muda quando adiciono uma pequena quantidade do componente i mantendo temperatura, pressão e as quantidades dos outros componentes constantes.
  • Para trabalhar com a função V_{m} (volume por mol de mistura) é útil usar duas relações clássicas para misturas binárias:
V_{m}=x_{1}\bar{V}_{1}+x_{2}\bar{V}_{2}
e, ao derivar V_{m} em relação a x_{1},
\frac{dV_{m}}{dx_{1}}=\bar{V}_{1}-\bar{V}_{2}.
Essas duas equações formam um sistema que permite obter \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2} a partir de V_{m}(x_{1}).

Passo 3

Resolver o sistema para obter fórmulas práticas.
  • Das duas equações:
\begin{cases} V_{m}=x_{1}\bar{V}_{1}+x_{2}\bar{V}_{2},\\[6pt] \dfrac{dV_{m}}{dx_{1}}=\bar{V}_{1}-\bar{V}_{2}, \end{cases}
isolando \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2} obtemos (faça as substituições e álgebra com calma):
\bar{V}_{2}=V_{m}-x_{1}\dfrac{dV_{m}}{dx_{1}}, \qquad \bar{V}_{1}=V_{m}+x_{2}\dfrac{dV_{m}}{dx_{1}}.
Essas fórmulas são muito práticas: primeiro calcula-se dV_{m}/dx_{1}, depois substitui-se em cada expressão.]

Passo 4

Expressar V_{m} como função de x_{1} só (substituir x_{2}=1-x_{1}) e calcular a derivada.
  • Substituindo x_{2}=1-x_{1} em V_{m}:
V_{m}=100x_{1}+80(1-x_{1})+10x_{1}(1-x_{1}).
  • Desenvolvendo os termos passo a passo:
V_{m}=100x_{1}+80-80x_{1}+10x_{1}-10x_{1}^{2}.
V_{m}=80+(100-80+10)x_{1}-10x_{1}^{2}=80+30x_{1}-10x_{1}^{2}.
  • Agora a derivada em relação a x_{1}:
\frac{dV_{m}}{dx_{1}}=30-20x_{1}.

Passo 5

Calcular \bar{V}_{1} e \bar{V}_{2} usando as fórmulas do Passo 3 e simplificar.
  • Primeiro \bar{V}_{2}:
\bar{V}_{2}=V_{m}-x_{1}\frac{dV_{m}}{dx_{1}} = \bigl(80+30x_{1}-10x_{1}^{2}\bigr)-x_{1}\bigl(30-20x_{1}\bigr).
Fazendo as contas:
\bar{V}_{2}=80+30x_{1}-10x_{1}^{2}-30x_{1}+20x_{1}^{2}=80+10x_{1}^{2}.
  • Agora \bar{V}_{1}:
\bar{V}_{1}=V_{m}+x_{2}\frac{dV_{m}}{dx_{1}} = \bigl(80+30x_{1}-10x_{1}^{2}\bigr)+(1-x_{1})\bigl(30-20x_{1}\bigr).
Calcule passo a passo o segundo termo:
(1-x_{1})(30-20x_{1})=30-50x_{1}+20x_{1}^{2}.
Somando com V_{m}:
\bar{V}_{1}=80+30x_{1}-10x_{1}^{2}+30-50x_{1}+20x_{1}^{2}=110-20x_{1}+10x_{1}^{2}.
  • Observação simpática (cheque rápido de consistência): quando x_{1}=1 (componente 1 puro) temos \bar{V}_{1}=110-20+10=100, que coincide com o termo 100 do enunciado; quando x_{1}=0 temos \bar{V}_{2}=80, que coincide com o termo 80. Isso é bom — checagem básica feita!

Passo 6

Expressões alternativas (às vezes útil em prova): escrevendo \bar{V}_{1} em função de x_{2} usando x_{1}=1-x_{2} obtém-se uma forma mais simples:
\bar{V}_{1}=100+10x_{2}^{2}, \qquad \bar{V}_{2}=80+10x_{1}^{2}.
Essas versões são equivalentes às anteriores e podem ser mais convenientes dependendo do que o enunciado pede.

Resposta

\bar{V}_{1}=110-20x_{1}+10x_{1}^{2}
\bar{V}_{2}=80+10x_{1}^{2}

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