Volume de um paraboloide elíptico (simples):
Um paraboloide elíptico é definido pela equação:
Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de volume. A gente tem um paraboloide elíptico definido por e precisa encontrar o volume do sólido que fica abaixo desse paraboloide e acima do plano . Para isso, vamos usar cálculo integral, basicamente integrando essa função sobre a região onde ela está acima do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. A equação representa um paraboloide que abre para baixo. Queremos a parte desse paraboloide que está acima do plano . Então, vamos achar onde , ou seja, . Essa é a equação de um círculo de raio 2 no plano .
Passo 3
Como a região de integração é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de variáveis:
Nessas coordenadas, o elemento de área vira .
Passo 4
Agora, reescrevemos a função em coordenadas polares:
O volume que queremos é a integral dupla de sobre a região circular de raio 2. Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a :