Volume de um paraboloide elíptico (simples):
Um paraboloide elíptico é definido pela equação:
z=4-x^2-y^2
Calcule o volume do sólido abaixo do paraboloide e acima do plano z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de volume. A gente tem um paraboloide elíptico definido por e precisa encontrar o volume do sólido que fica abaixo desse paraboloide e acima do plano . Para isso, vamos usar cálculo integral, basicamente integrando essa função sobre a região onde ela está acima do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos calcular o volume. A equação representa um paraboloide que abre para baixo. Queremos a parte desse paraboloide que está acima do plano . Então, vamos achar onde , ou seja, . Essa é a equação de um círculo de raio 2 no plano .

Passo 3

Como a região de integração é um círculo, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos fazer a mudança de variáveis:
x = r cos theta e y = r sin theta
Nessas coordenadas, o elemento de área vira .

Passo 4

Agora, reescrevemos a função z = 4 - r^2 em coordenadas polares:
V = integral0^2pi integral0^2 (4 - r^2) , r , dr , dtheta
O volume que queremos é a integral dupla de sobre a região circular de raio 2. Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 (4r - r^3) , dr :
integral 4r , dr = 2r^2 e integral r^3 , dr = r^44
Integrando termo a termo:
2(2)^2 - (2)^44 = 8 - 4 = 4
Avaliado de 0 a 2:

Passo 6

Agora, a integral externa em relação a V = integral0^2pi 4 , dtheta = 4 theta g|0^2pi = 4 times 2pi = 8pi é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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