O volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo cilindro e pelos planos e vale
a) .
b) .
c)
d) u.v.
e) u.v.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido no primeiro octante que está limitado por um cilindro e alguns planos. Os elementos que vamos usar são geometria espacial e cálculo integral, especialmente coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender bem os limites do sólido para configurar nossa integral corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o cilindro dado pela equação . Esse cilindro tem raio e é paralelo ao eixo z, já que a equação não envolve z. Estamos no primeiro octante, então , e .
Passo 3
Os planos que delimitam nosso sólido são , , e . Isso significa que, em termos de ângulo no plano xy, estamos entre as linhas (ângulo de 45 graus ou radianos) e (ângulo de 30 graus ou radianos).
Passo 4
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a integração. Nessas coordenadas:
varia de 0 até (o raio do cilindro).
varia de até (os ângulos determinados pelos planos).
varia de 0 até 4.
Passo 5
A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é: