O volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo cilindro x^2+y^2=2 e pelos planos y=x, y=xraiz3, z=0 e z=4 vale
a) 2 pi uv.
b) pi3 u, v.
c) 2 pi5
d) pi u.v.
e) 3 pi2 u.v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para encontrarmos o volume de um sólido no primeiro octante que está limitado por um cilindro e alguns planos. Os elementos que vamos usar são geometria espacial e cálculo integral, especialmente coordenadas cilíndricas. Vamos precisar entender bem os limites do sólido para configurar nossa integral corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o cilindro dado pela equação x^2 + y^2 = 2. Esse cilindro tem raio raiz2 e é paralelo ao eixo z, já que a equação não envolve z. Estamos no primeiro octante, então x >= 0, y >= 0 e z >= 0.

Passo 3

Os planos que delimitam nosso sólido são y = x, y = xraiz3, z = 0 e z = 4. Isso significa que, em termos de ângulo no plano xy, estamos entre as linhas y = x (ângulo de 45 graus ou pi4 radianos) e y = xraiz3 (ângulo de 30 graus ou pi6 radianos).

Passo 4

Vamos usar coordenadas cilíndricas (r, theta, z) para facilitar a integração. Nessas coordenadas:
  • r varia de 0 até raiz2 (o raio do cilindro).
  • theta varia de pi6 até pi4 (os ângulos determinados pelos planos).
  • z varia de 0 até 4.

Passo 5

A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
V = integralthetamin^thetamax integralr=0^raiz2 integralz=0^4 r , dz , dr , dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^4 r , dz = r z |0^4 = 4r

Passo 7

Agora, integramos em relação a r:
integral0^raiz2 4r , dr = 4 ( r^22 ) |0^raiz2 = 4 ( 22 ) = 4

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
integralpi6^pi4 4 , dtheta = 4 ( pi4 - pi6 ) = 4 ( 3pi - 2pi12 ) = 4 ( pi12 ) = pi3

Resposta

A resposta correta é a letra b) pi3 u.v.

Exercícios relacionados