At what points
in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
Passo 1
O enunciado pede os pontos
em que a função
é contínua. O conteúdo de matéria aqui é continuidade de funções de duas variáveis e uso de propriedades de soma, composição e quociente de funções contínuas.
Passo 2
Observamos que o numerador
é uma combinação linear das variáveis
e
. Como polinômios e sumas de variáveis são funções contínuas em toda parte, concluímos que
é contínua em
.
Passo 3
O denominador é
Sabemos que
é contínua em
e que a soma com a constante
preserva a continuidade. Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Para usar o quociente de funções contínuas, precisamos garantir que o denominador nunca se anule. Resolvendo
teríamos
, o que é impossível pois
. Portanto
para todo
.
Passo 5
Como numerador e denominador são contínuos em toda parte e o denominador é sempre não nulo, o quociente
é contínuo em todo o domínio, que é .
é contínuo em todo o domínio, que é
Resposta
A função
é contínua para todo par
.