At what points (x, y) in the plane are the functions in Exercises 27-30 continuous?
g(x, y)=\frac{x+y}{2+\cos x}

Passo 1

O enunciado pede os pontos (x,y) em que a função
g(x,y)=\frac{x+y}{2+\cos x}
é contínua. O conteúdo de matéria aqui é continuidade de funções de duas variáveis e uso de propriedades de soma, composição e quociente de funções contínuas.

Passo 2

Observamos que o numerador x+y é uma combinação linear das variáveis x e y. Como polinômios e sumas de variáveis são funções contínuas em toda parte, concluímos que
(x,y)\mapsto x+y
é contínua em \mathbb{R}^2.

Passo 3

O denominador é
2+\cos x.
Sabemos que x\mapsto\cos x é contínua em \mathbb{R} e que a soma com a constante 2 preserva a continuidade. Logo,
x\mapsto 2+\cos x
é contínua em \mathbb{R}.

Passo 4

Para usar o quociente de funções contínuas, precisamos garantir que o denominador nunca se anule. Resolvendo
2+\cos x = 0
teríamos \cos x=-2, o que é impossível pois \cos x\in[-1,1]. Portanto 2+\cos x\neq0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Como numerador e denominador são contínuos em toda parte e o denominador é sempre não nulo, o quociente \frac{x+y}{2+\cos x}
é contínuo em todo o domínio, que é \mathbb{R}^2.

Resposta

A função g é contínua para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^2.

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