Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{x^{2}}{x^{2}+x+2}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+x+2}
Conteúdo: frações parciais com grau do numerador maior ou igual ao do denominador.

Passo 2

Como o grau do numerador é igual ao do denominador, primeiro fazemos a divisão polinomial
\frac{x^{2}}{x^{2}+x+2}=1+\frac{-x-2}{x^{2}+x+2}.

Passo 3

O termo \frac{-x-2}{x^{2}+x+2} é uma fração própria cujo denominador é um polinômio quadrático irreduzível. Logo, assumimos para ele a forma
\frac{-x-2}{x^{2}+x+2}=\frac{Bx+C}{x^{2}+x+2},
onde B e C são constantes a determinar.

Resposta

\frac{x^{2}}{x^{2}+x+2} = 1+\frac{Bx+C}{x^{2}+x+2}.

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