Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{1}{\left(x^{2}-9\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
\frac{1}{\bigl(x^{2}-9\bigr)^{2}}.
O conteúdo envolve fatorar o denominador em fatores lineares repetidos e usar o formato geral de frações parciais para cada multiplicidade.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}-9 = (x-3)(x+3),
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\frac{1}{\bigl(x^{2}-9\bigr)^{2}} =\frac{1}{(x-3)^{2}(x+3)^{2}}.

Passo 3

Como temos fatores lineares (x-3) e (x+3) cada um de multiplicidade 2, a forma geral da decomposição é
\frac{1}{(x-3)^{2}(x+3)^{2}} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^{2}} +\frac{C}{x+3}+\frac{D}{(x+3)^{2}},
onde A, B, C e D são constantes a determinar.

Resposta

\frac{1}{(x^{2}-9)^{2}} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{(x-3)^{2}} +\frac{C}{x+3}+\frac{D}{(x+3)^{2}}.

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