Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{x^{4}+1}{x^{5}+4 x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
\frac{x^{4}+1}{x^{5}+4x^{3}}
Conteúdo: frações parciais com fator repetido e quadrático irreduzível.

Passo 2

Factorizamos o denominador para identificar os fatores lineares repetidos e o irreduzível:
x^{5}+4x^{3}=x^{3}(x^{2}+4).

Passo 3

Para o fator x^{3} (raiz zero de multiplicidade 3) usamos termos da forma
\tfrac{A}{x}+\tfrac{B}{x^{2}}+\tfrac{C}{x^{3}}
e para o fator quadrático irreduzível x^{2}+4 usamos
\tfrac{Dx+E}{x^{2}+4}.

Resposta

\frac{x^{4}+1}{x^{5}+4x^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}} + \frac{Dx+E}{x^{2}+4}.

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