Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{x^{4}}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais de
\frac{x^{4}}{x^{4}-1},
sem determinar os valores numéricos dos coeficientes. Vamos precisar fatorar o denominador, fazer uma divisão polinomial (pois o numerador e o denominador têm o mesmo grau) e então colocar na forma de frações parciais com termos lineares e quadráticos irreduzíveis.

Passo 2

Fatoramos o denominador em termos irreduzíveis sobre os reais:
x^{4}-1 = (x^{2}-1)(x^{2}+1) = (x-1)(x+1)(x^{2}+1).

Passo 3

Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, fazemos divisão polinomial:
\frac{x^{4}}{x^{4}-1} = \frac{(x^{4}-1)+1}{x^{4}-1} = 1 + \frac{1}{x^{4}-1}.

Passo 4

Agora decompondo \displaystyle \frac{1}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)} em frações parciais, temos termos para os fatores lineares e um termo quadrático irreduzível:
\frac{1}{(x-1)(x+1)(x^{2}+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx + D}{x^{2}+1}.

Resposta

\frac{x^{4}}{x^{4}-1} = 1 \;+\; \frac{A}{x-1} \;+\;\frac{B}{x+1} \;+\;\frac{Cx + D}{x^{2}+1},
onde A, B, C e D são constantes a serem determinados.

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