Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{x^{3}}{x^{2}+4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais de
\frac{x^{3}}{x^{2} + 4x + 3}
sem calcular os coeficientes. Vamos usar divisão de polinômios e depois o método de frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^{3} por x^{2}+4x+3:
\frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3} = x - 4 + \frac{13x + 12}{x^{2}+4x+3}.

Passo 3

Fatoramos o denominador da parte própria:
x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3).

Passo 4

Aplicamos o método de frações parciais à parte própria:
\frac{13x + 12}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3},
onde A e B são constantes a determinar.

Resposta

\frac{x^{3}}{x^{2} + 4x + 3} = x - 4 + \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}.

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