Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{2 x+1}{(x+1)^{3}\left(x^{2}+4\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais de
\frac{2x+1}{(x+1)^{3}\,(x^{2}+4)^{2}}.
O conteúdo aqui é o método de frações parciais: para cada fator linear repetido de multiplicidade n usamos termos constantes sobre potências desse fator de 1 até n, e para cada fator quadrático irreduzível repetido de multiplicidade m usamos termos lineares sobre potências desse fator de 1 até m.

Passo 2

O fator linear x+1 tem multiplicidade 3, então introduzimos constantes A,B,C para
\frac{A}{x+1},\quad \frac{B}{(x+1)^{2}},\quad \frac{C}{(x+1)^{3}}.
O fator quadrático irreduzível x^{2}+4 tem multiplicidade 2, então usamos termos lineares Dx+E e Fx+G para
\frac{Dx+E}{x^{2}+4},\quad \frac{Fx+G}{(x^{2}+4)^{2}}.

Resposta

\frac{2x+1}{(x+1)^{3}\,(x^{2}+4)^{2}} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^{2}} + \frac{C}{(x+1)^{3}} + \frac{Dx+E}{x^{2}+4} + \frac{Fx+G}{(x^{2}+4)^{2}}.

Exercícios relacionados