Write out the form of the partial fraction decomposition of the function (as in Example 7). Do not determine the numerical values of the coefficients.
\frac{t^{4}+t^{2}+1}{\left(t^{2}+1\right)\left(t^{2}+4\right)^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede a forma da decomposição em frações parciais da função racional
\frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)\,(t^{2}+4)^{2}},
sem calcular os coeficientes numéricos. O conteúdo da matéria é decomposição em frações parciais para fatores quadráticos irreduzíveis, incluindo fator repetido.

Passo 2

Identificamos os fatores do denominador:
t^{2}+1 é um quadrático irreduzível de multiplicidade 1.
t^{2}+4 é um quadrático irreduzível de multiplicidade 2.

Passo 3

Para cada fator t^{2}+a^{2} de multiplicidade 1, usamos um numerador genérico linear At+B. Para o fator repetido (t^{2}+4)^{2}, introduzimos dois termos: um sobre (t^{2}+4) e outro sobre (t^{2}+4)^{2}, cada um com numerador linear. Assim, a forma geral da decomposição é
\frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)\,(t^{2}+4)^{2}} =\frac{At+B}{t^{2}+1} +\frac{Ct+D}{t^{2}+4} +\frac{Et+F}{(t^{2}+4)^{2}},
onde A,B,C,D,E,F são constantes a determinar.

Resposta

\frac{t^{4}+t^{2}+1}{(t^{2}+1)\,(t^{2}+4)^{2}} =\frac{At+B}{t^{2}+1} +\frac{Ct+D}{t^{2}+4} +\frac{Et+F}{(t^{2}+4)^{2}}.

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