Se o Wronskiano de
e
é
, e se
, determine
:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre o Wronskiano de duas funções,
e
. O enunciado diz que o Wronskiano é
e que
. A missão é descobrir qual é a função
. Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como usar essa informação para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções
e
é definido por:
Ele serve para verificar se as funções são linearmente independentes, mas aqui vamos usar essa definição para encontrar
.
Passo 3
Sabemos que
e que
. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Agora, substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por
:
Isso resulta em uma equação diferencial simples:
Queremos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar um fator integrante. A equação tem a forma:
Onde
e
. O fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A função
é
.