Se o Wronskiano de f e g é e^2 t, e se f(t)=e^t, determine g(t) :
Escolha uma opção:
t e^t+C e^t
Nenhuma das demais alternativas
e^t+C t
t e^t+C t
e^t+C t
t^2 e^t+C e^t

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre o Wronskiano de duas funções, f e g. O enunciado diz que o Wronskiano é e^2t e que f(t) = e^t. A missão é descobrir qual é a função g(t). Vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como usar essa informação para encontrar g(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções f e g é definido por:
W(f,g) = f cdot g' - f' cdot g
Ele serve para verificar se as funções são linearmente independentes, mas aqui vamos usar essa definição para encontrar g(t).

Passo 3

Sabemos que W(f,g) = e^2t e que f(t) = e^t. Vamos calcular as derivadas necessárias:
f(t) = e^t Rightarrow f'(t) = e^t
Agora, substituímos na fórmula do Wronskiano:
e^2t = e^t cdot g' - e^t cdot g

Passo 4

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por e^t:
e^t = g' - g
Isso resulta em uma equação diferencial simples:
g' - g = e^t
Queremos resolver essa equação para encontrar g(t).

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos usar um fator integrante. A equação tem a forma:
g' + P(t)g = Q(t)
Onde P(t) = -1 e Q(t) = e^t. O fator integrante é:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1 , dt = e^-t
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
e^-tg' - e^-tg = e^-te^t Rightarrow e^-tg' - e^-tg = 1
Isso simplifica para:
ddt(e^-tg) = 1

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
e^-tg = integral 1 , dt = t + C
Multiplicando ambos os lados por e^t para isolar g(t):
g(t) = e^t(t + C) = t e^t + C e^t

Resposta

A função g(t) é t e^t + C e^t.

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