Se
, sabendo-se que
e
, determinar:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial, denotada por $ X \sim b(n, p) $. Sabemos que a média $ E(X) = 12 $ e a variância $ Var(X) = 3 $. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de $ X $ ser exatamente 5, ou seja, $ P(X = 5) $. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas da média e da variância da distribuição binomial, além da fórmula de probabilidade da binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para uma distribuição binomial $ b(n, p) $:
-
A média $ E(X) $ é dada por:
-
A variância $ Var(X) $ é dada por:
Sabemos que $ E(X) = 12 $ e $ Var(X) = 3 $. Vamos primeiramente encontrar os valores de $ n $ e $ p $ usando essas duas equações.
Passo 3
A partir da fórmula da média:
Agora, substituímos $ p $ na fórmula da variância:
Simplificando:
Agora que temos $ n = 16 $, podemos encontrar $ p $:
Passo 4
Agora que sabemos que $ n = 16 $ e $ p = 0,75 $, podemos calcular $ P(X = 5) $ usando a fórmula da probabilidade da distribuição binomial:
Onde:
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
Para $ k = 5 $:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da expressão:
- Coeficiente binomial:
- $ p^k $:
- $ (1 - p)^{n - k} $:
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser igual a 5 é aproximadamente $ 0,000619 $.