Se X sim b(n, p), sabendo-se que E(X)=12 e Var(X)=3, determinar:
c) P(X=5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição binomial, denotada por $ X \sim b(n, p) $. Sabemos que a média $ E(X) = 12 $ e a variância $ Var(X) = 3 $. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de $ X $ ser exatamente 5, ou seja, $ P(X = 5) $. Para resolver isso, vamos precisar usar as fórmulas da média e da variância da distribuição binomial, além da fórmula de probabilidade da binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para uma distribuição binomial $ b(n, p) $:
  • A média $ E(X) $ é dada por:
    b(n, p)
  • A variância $ Var(X) $ é dada por:
    E(X)
Sabemos que $ E(X) = 12 $ e $ Var(X) = 3 $. Vamos primeiramente encontrar os valores de $ n $ e $ p $ usando essas duas equações.

Passo 3

A partir da fórmula da média:
n cdot p = 12 Rightarrow p = 12n
Agora, substituímos $ p $ na fórmula da variância:
p
Simplificando:
n cdot 12n cdot (1 - 12n) = 3
12 cdot (1 - 12n) = 3
12 - 144n = 3
144n = 12 - 3
Agora que temos $ n = 16 $, podemos encontrar $ p $:
144n = 9 Rightarrow n = 1449 = 16

Passo 4

Agora que sabemos que $ n = 16 $ e $ p = 0,75 $, podemos calcular $ P(X = 5) $ usando a fórmula da probabilidade da distribuição binomial:
n = 16
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $.
Para $ k = 5 $:
p = 0,75

Passo 5

Vamos calcular cada parte da expressão:
  1. Coeficiente binomial:
binom165 = 16!5! cdot (16-5)! = 16!5! cdot 11! = 4368
  1. $ p^k $:
p^k
  1. $ (1 - p)^{n - k} $:
0,75^5 approx 0,2373
Multiplicando tudo:
(1 - p)^n - k

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser igual a 5 é aproximadamente $ 0,000619 $.

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