Se Y mid mu sim Poisson(mu) e mu sim Gama(r, lambda). Obtenha a distribuição marginal da variável aleatória Y.

Passo 1

Beleza! Temos aqui um exercício que envolve distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson e a distribuição Gama. Nosso objetivo é descobrir qual é a distribuição marginal da variável aleatória $ Y $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades dessas distribuições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ Y \mid \mu \sim \operatorname{Poisson}(\mu) $. Isso quer dizer que, dado um valor específico de $ \mu $, a variável $ Y $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \mu $. Além disso, sabemos que $ \mu $ em si segue uma distribuição Gama, $ \mu \sim \operatorname{Gama}(r, \lambda) $.
Para encontrar a distribuição marginal de $ Y $, precisamos eliminar a variável $ \mu $. Isso é feito calculando a probabilidade de $ Y $ somando todas as possíveis contribuições de $ \mu $.

Passo 3

A distribuição marginal de $ Y $ é dada por:
Y
Sabemos que:
P(Y = y) = integral0^infty P(Y = y mid mu) , P(mu) , dmu é
E:
P(Y = y mid mu) = e^-mu mu^yy! (pois $ Y mid mu $ é Poisson) é

Passo 4

Vamos substituir essas expressões na integral:
P(Y = y) = integral0^infty e^-mu mu^yy! cdot lambda^r mu^r-1 e^-lambda muGamma(r) , dmu
Podemos simplificar os termos constantes fora da integral:
P(Y = y) = lambda^ry! , Gamma(r) integral0^infty mu^y + r -1 e^-(lambda +1) mu , dmu

Passo 5

A integral que sobrará agora é uma forma da função Gamma. Sabemos que:
integral0^infty mu^k-1 e^-theta mu , dmu = Gamma(k)theta^k
Aqui, $ k = y + r $ e $ \theta = \lambda + 1 $. Então, aplicando isso na nossa integral:
k = y + r

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de $ P(Y = y) $:
P(Y = y)
Podemos simplificar isso reorganizando os termos:
P(Y = y) = lambda^ry! , Gamma(r) cdot Gamma(y + r)(lambda +1)^y + r

Passo 7

Reconhecendo a forma da distribuição negativa binomial, que é dada por:
P(Y = y) = binomy + r -1y ( lambdalambda +1 )^r ( 1lambda +1 )^y
onde $ \binom{y + r -1}{y} = \frac{\Gamma(y + r)}{y! , \Gamma®} $.

Resposta

A distribuição marginal da variável aleatória $ Y $ é uma distribuição binomial negativa com parâmetros $ r $ e $ \frac{\lambda}{\lambda +1} $. A fórmula é:
Y
Ou, de forma equivalente:
r
Essa é a distribuição marginal de $ Y $.

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