Se
e
. Obtenha a distribuição marginal da variável aleatória Y.
Passo 1
Beleza! Temos aqui um exercício que envolve distribuições de probabilidade, especificamente a distribuição de Poisson e a distribuição Gama. Nosso objetivo é descobrir qual é a distribuição marginal da variável aleatória $ Y $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais e propriedades dessas distribuições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ Y \mid \mu \sim \operatorname{Poisson}(\mu) $. Isso quer dizer que, dado um valor específico de $ \mu $, a variável $ Y $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \mu $. Além disso, sabemos que $ \mu $ em si segue uma distribuição Gama, $ \mu \sim \operatorname{Gama}(r, \lambda) $.
Para encontrar a distribuição marginal de $ Y $, precisamos eliminar a variável $ \mu $. Isso é feito calculando a probabilidade de $ Y $ somando todas as possíveis contribuições de $ \mu $.
Passo 3
A distribuição marginal de $ Y $ é dada por:
Sabemos que:
E:
Passo 4
Vamos substituir essas expressões na integral:
Podemos simplificar os termos constantes fora da integral:
Passo 5
A integral que sobrará agora é uma forma da função Gamma. Sabemos que:
Aqui, $ k = y + r $ e $ \theta = \lambda + 1 $. Então, aplicando isso na nossa integral:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de $ P(Y = y) $:
Podemos simplificar isso reorganizando os termos:
Passo 7
Reconhecendo a forma da distribuição negativa binomial, que é dada por:
onde $ \binom{y + r -1}{y} = \frac{\Gamma(y + r)}{y! , \Gamma®} $.
Resposta
A distribuição marginal da variável aleatória $ Y $ é uma distribuição binomial negativa com parâmetros $ r $ e $ \frac{\lambda}{\lambda +1} $. A fórmula é:
Ou, de forma equivalente:
Essa é a distribuição marginal de $ Y $.