Se é uma v.a. uniforme em e , determine a função densidade de probabilidade, , de e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Então, o problema diz que temos uma variável aleatória contínua X que é uniforme em . Aí definem uma nova variável Y = 2X – 3. O que queremos é achar a função densidade de probabilidade de Y, , e desenhar o gráfico.
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas (mudança de variável em densidade). Vamos usar a fórmula
onde .
Passo 2
Primeiro, lembrando a densidade de X: como X é uniforme em fX(x) = 12 - (-2) = 14, & xin[-2,2], 0, & caso contrário ,
á
Isso significa que dentro de a densidade é constante igual a .
Passo 3
Agora vemos o intervalo de Y. Como :
Quando , .
Quando , .
Logo o suporte de Y é .
Passo 4
Aplique a fórmula de transformação. Temos g^-1(y) = y + 32 . O inverso é
ddyl(g^-1(y)r) = 12
E a derivada é
fY(y) = fX!l(tfracy+32r),l|tfrac12r|
Então
Passo 5
Substituindo fY(y) = 14 times 12 = 18 : para estar em é necessário que . Nesse caso , e fora desse intervalo .
Então para :
E para , .
Resposta
fY(y) = dfrac18, & -7 <= y <= 1, 0, & caso contrário á
Gráfico: é uma linha reta horizontal em altura de até , e zero fora desse intervalo.