Se X é uma v.a. uniforme em [-2,2] e Y=2 X-3, determine a função densidade de probabilidade, fy(y), de Y e esboce o seu gráfico.

Passo 1

Então, o problema diz que temos uma variável aleatória contínua X que é uniforme em fY(y) = fXl(g^-1(y)r),l|ddyl(g^-1(y)r)r| . Aí definem uma nova variável Y = 2X – 3. O que queremos é achar a função densidade de probabilidade de Y, , e desenhar o gráfico.
Conteúdo: transformação de variáveis contínuas (mudança de variável em densidade). Vamos usar a fórmula
onde .

Passo 2

Primeiro, lembrando a densidade de X: como X é uniforme em fX(x) = 12 - (-2) = 14, & xin[-2,2], 0, & caso contrário ,
á
Isso significa que dentro de a densidade é constante igual a .

Passo 3

Agora vemos o intervalo de Y. Como :
  • Quando , .
  • Quando , .
    Logo o suporte de Y é .

Passo 4

Aplique a fórmula de transformação. Temos g^-1(y) = y + 32 . O inverso é
ddyl(g^-1(y)r) = 12
E a derivada é
fY(y) = fX!l(tfracy+32r),l|tfrac12r|
Então

Passo 5

Substituindo fY(y) = 14 times 12 = 18 : para estar em é necessário que . Nesse caso , e fora desse intervalo .
Então para :
E para , .

Resposta

fY(y) = dfrac18, & -7 <= y <= 1, 0, & caso contrário á
Gráfico: é uma linha reta horizontal em altura de até , e zero fora desse intervalo.

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