x y^prime prime(x)+(1-x) y^prime(x)+(nu+lambda) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Use o item anterior e a equação de Laguerre para obter a equação de recorrência satisfeita pelos cn.

Passo 1

O enunciado pede para investigar as soluções da equação de Laguerre generalizada
x,y''(x)+(1-x),y'(x)+(nu+lambda),y(x)=0
usando séries de potências e chegar a uma relação de recorrência entre os coeficientes cn. Precisamos aplicar o método de série de potências: expandir y(x)=sumn=0^infty cn x^n, calcular y' e y'', substituir na equação e igualar coeficientes de mesmas potências de x.

Passo 2

Assumimos a solução em série de potências centrada em zero:
y(x)=sumn=0^infty cn x^n,
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y'(x)=sumn=1^infty n,cn x^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1),cn x^n-2

Passo 3

Substituindo na equação original:
xsumn=2^infty n(n-1)cn x^n-2+(1-x)sumn=1^infty n cn x^n-1+(nu+lambda)sumn=0^infty cn x^n=0
Distribuindo e reorganizando:
sumn=2^infty n(n-1)cn x^n-1+sumn=1^infty n cn x^n-1-sumn=1^infty n cn x^n+(nu+lambda)sumn=0^infty cn x^n=0

Passo 4

Unindo os dois primeiros somatórios em potências de x^n-1:
sumn=1^infty n^2 cn x^n-1+sumn=0^infty(nu+lambda-n)cn x^n=0
No primeiro somatório fazemos a troca de índice m=n-1 (assim ele vai de m=0 a infty):
summ=0^infty (m+1)^2 cm+1 x^m+summ=0^infty (nu+lambda-m)cm x^m=0

Passo 5

Igualando coeficientes de x^m em cada somatório, obtemos a relação de recorrência:
(m+1)^2 cm+1+(nu+lambda-m)cm=0
o que leva a
cm+1=-nu+lambda-m(m+1)^2,cm

Resposta

A relação de recorrência é
cn+1=-nu+lambda-n(n+1)^2,cn

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