O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Use o item anterior e a equação de Laguerre para obter a equação de recorrência satisfeita pelos
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar as soluções da equação de Laguerre generalizada
usando séries de potências e chegar a uma relação de recorrência entre os coeficientes
. Precisamos aplicar o método de série de potências: expandir
, calcular
e
, substituir na equação e igualar coeficientes de mesmas potências de
.
Passo 2
Assumimos a solução em série de potências centrada em zero:
logo
Passo 3
Substituindo na equação original:
Distribuindo e reorganizando:
Passo 4
Unindo os dois primeiros somatórios em potências de
:
No primeiro somatório fazemos a troca de índice
(assim ele vai de
a
):
Passo 5
Igualando coeficientes de
em cada somatório, obtemos a relação de recorrência:
o que leva a
Resposta
A relação de recorrência é