Para
, mostre que
então
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dados:
. - Hipótese:
. - O que se pede: mostrar que
.
Vou trabalhar rigorosamente com essas informações e mostrar passo a passo por que a desigualdade sem o mesmo termo
também vale.
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar (e entender bem) o que significa uma desigualdade estrita em
. Uma definição conveniente e intuitiva é:
Explicando: aqui
é a “diferença positiva” entre
e
. Dizer que
significa que é uma diferença estrita (não é igualdade). Essa definição é a que vou usar para provar
: vou mostrar que existe um
com
.
Passo 3
Da hipótese
, aplicando a definição do passo anterior, existe um
com
tal que
Esse
é a diferença positiva entre
e
.
Passo 4
Agora uso propriedades elementares da adição (associatividade e comutatividade) para reorganizar a soma à esquerda. Começo escrevendo
Pela comutatividade temos
, portanto
Pela associatividade isso é igual a
Assim a igualdade do passo 3 pode ser reescrita como
Passo 5
Agora preciso de um fato fundamental sobre adição em
: a propriedade cancelativa. Ela diz que, para quaisquer
,
Vou provar essa propriedade por indução sobre
(é curta e clara):
-
Base (
): implica porque para todo . -
Passo indutivo: suponha que a propriedade vale para um
. Considere e suponha . Então . A operação "adicionar " (sucessor) é injetiva em : se então . Aplicando isso obtemos . Pela hipótese indutiva vem . Isso conclui a prova por indução.
Portanto a cancelação é válida: se duas somas diferem apenas por termos iguais adicionados no final, podemos “cancelar” esse termo comum.
Passo 6
Voltando à igualdade do passo 4,
pela propriedade cancelativa com
,
e
, obtemos
Lembre que neste
temos
(do passo 3). Pela definição de desigualdade do passo 2, isso mostra exatamente que
Concluímos a prova: a presença do mesmo
em ambos os lados pode ser cancelada, e a desigualdade estrita é mantida.