Para x, y, z \in \mathbb{N}, mostre que x+z<y+z então x<y

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dados: x,y,z\in\mathbb{N}.
  • Hipótese: x+z<y+z.
  • O que se pede: mostrar que x<y.
Vou trabalhar rigorosamente com essas informações e mostrar passo a passo por que a desigualdade sem o mesmo termo z também vale.

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar (e entender bem) o que significa uma desigualdade estrita em \mathbb{N}. Uma definição conveniente e intuitiva é:
\text{Para }a,b\in\mathbb{N},\quad a<b\quad\text{se e somente se existe }k\in\mathbb{N}\text{ com }k\neq 0\text{ tal que }a+k=b.
Explicando: aqui k é a “diferença positiva” entre b e a. Dizer que k\neq 0 significa que é uma diferença estrita (não é igualdade). Essa definição é a que vou usar para provar x<y: vou mostrar que existe um k\neq 0 com x+k=y.

Passo 3

Da hipótese \,x+z<y+z, aplicando a definição do passo anterior, existe um k\in\mathbb{N} com k\neq 0 tal que
x+z+k = y+z.
Esse k é a diferença positiva entre y+z e x+z.

Passo 4

Agora uso propriedades elementares da adição (associatividade e comutatividade) para reorganizar a soma à esquerda. Começo escrevendo
x+z+k = x+(z+k).
Pela comutatividade temos z+k=k+z, portanto
x+(z+k) = x+(k+z).
Pela associatividade isso é igual a
x+(k+z) = (x+k)+z.
Assim a igualdade do passo 3 pode ser reescrita como
(x+k)+z = y+z.

Passo 5

Agora preciso de um fato fundamental sobre adição em \mathbb{N}: a propriedade cancelativa. Ela diz que, para quaisquer u,v,w\in\mathbb{N},
\text{se }u+w = v+w\text{ então }u=v.ã
Vou provar essa propriedade por indução sobre w (é curta e clara):
  • Base ( w=0): u+0=v+0 implica u=v porque a+0=a para todo a.
  • Passo indutivo: suponha que a propriedade vale para um w. Considere w+1 e suponha u+(w+1)=v+(w+1). Então (u+w)+1=(v+w)+1. A operação "adicionar 1" (sucessor) é injetiva em \mathbb{N}: se s+1=t+1 então s=t. Aplicando isso obtemos u+w = v+w. Pela hipótese indutiva vem u=v. Isso conclui a prova por indução.
Portanto a cancelação é válida: se duas somas diferem apenas por termos iguais adicionados no final, podemos “cancelar” esse termo comum.

Passo 6

Voltando à igualdade do passo 4,
(x+k)+z = y+z,
pela propriedade cancelativa com u=x+k, v=y e w=z, obtemos
x+k = y.
Lembre que neste k temos k\neq 0 (do passo 3). Pela definição de desigualdade do passo 2, isso mostra exatamente que
x<y.
Concluímos a prova: a presença do mesmo z em ambos os lados pode ser cancelada, e a desigualdade estrita é mantida.

Resposta

x<y

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