Para x, y, z \in \mathbb{N} e z \in \mathbb{N}^{*}, mostre que x z<y z então x \leq y

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Dados x,y,z \in \mathbb{N} com z \in \mathbb{N}^{*}. Aqui vou entender \mathbb{N}^{*} como os naturais estritamente positivos, ou seja z\ge 1.
  • Hipótese: x z < y z.
  • O que pedir mostrar: que x \leq y.
Resumo conciso do que temos: multiplicação pelos naturais e uma desigualdade entre x z e y z; precisamos traduzir isso em uma desigualdade entre x e y.

Passo 2

Ideia-chave (explicada passo a passo, sem pular etapas):
Multiplicar por um número natural positivo preserva a ordem: se a<b então a z < b z quando z>0. Aqui queremos a contrapartida: a partir de x z < y z deduzir algo sobre x e y. A forma mais segura é fazer uma prova por contradição: supor que x > y e mostrar que isso contradiz x z < y z. Vou explicar por que essa contradição aparece de forma elementar.

Passo 3

Prova por contradição: suponha, para absurdo, que x > y.
Como x e y são naturais, a diferença x-y é um natural não nulo, ou seja existe k\in\mathbb{N}^{*} tal que
x = y + k.
Isso porque entre naturais se x>y então x\ge y+1; escrevemos explicitamente k para ficar claro.

Passo 4

Multiplicamos a identidade x = y + k por z (isto é permitido, multiplicação bem definida em \mathbb{N}):
x z = (y + k)z.
Pelo distributivo da multiplicação sobre a adição (propriedade básica dos números naturais),
(y + k)z = y z + k z.
Portanto
x z = y z + k z.

Passo 5

Agora usamos que k\in\mathbb{N}^{*} e z\in\mathbb{N}^{*}, então k z \in \mathbb{N}^{*}, ou seja k z \ge 1. Em particular k z > 0. Assim
x z = y z + k z > y z + 0 = y z.
Logo obtivemos x z > y z.

Passo 6

Mas isso contradiz a hipótese x z < y z. Portanto a suposição x>y é impossível. Como as únicas possibilidades entre naturais são x<y, x=y ou x>y, e descartamos x>y, fica que x\le y.
Além disso, observe que x=y também fica impossibilitado pela hipótese x z<y z (pois se x=y então x z = y z), então da hipótese segue na realidade a forma estrita
x < y.
Mas o que o enunciado pedia era x\le y, e isso já está comprovado.

Resposta

x \leq y

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