XIV. Critério D’Alembert’s: Seja a_{n} \neq 0 para todo n \in \mathbb{N}^{+}e suponhamos que \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=r \in \mathbb{R}. Demonstre o seguinte:
a) Se r<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é absolutamente convergente.
b) Se r>1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.
Passo 1
O enunciado é o Critério de D’Alembert (razão) para a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n com a_n\neq 0 e
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.
Queremos provar duas coisas:
a) Se r<1, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge absolutamente.
b) Se r>1, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge.
Para isso, vamos usar o critério de comparação com série geométrica e o teste do termo geral.
Passo 2
(Prova de a): caso r<1)
Como \lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=r<1, existe \varepsilon>0 tal que
q \;=\; r + \varepsilon \;<\;1.
Pela definição de limite, existe N\in\mathbb{N} de modo que, para todo n\ge N, valha