XIV. Critério D’Alembert’s: Seja a_{n} \neq 0 para todo n \in \mathbb{N}^{+}e suponhamos que \lim _{n \rightarrow+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|= r \in \mathbb{R}. Demonstre o seguinte:
a) Se r<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é absolutamente convergente.
b) Se r>1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.

Passo 1

O enunciado é o Critério de D’Alembert (razão) para a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n com a_n\neq 0 e
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.
Queremos provar duas coisas:
a) Se r<1, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge absolutamente.
b) Se r>1, então \sum_{n=1}^{\infty}a_n diverge.
Para isso, vamos usar o critério de comparação com série geométrica e o teste do termo geral.

Passo 2

(Prova de a): caso r<1)
Como \lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=r<1, existe \varepsilon>0 tal que
q \;=\; r + \varepsilon \;<\;1.
Pela definição de limite, existe N\in\mathbb{N} de modo que, para todo n\ge N, valha
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\;\le\;q.
Isto implica
|a_{n+1}|\;\le\;q\,|a_n|\quad\forall\,n\ge N.
Iterando essa desigualdade, para todo k\ge0,
|a_{N+k}|\;\le\;q^k\,|a_N|.

Passo 3

Ainda no caso r<1, somamos a partir de n=N:
\sum_{n=N}^{\infty} |a_n| \;=\; |a_N| \;+\;\sum_{k=1}^{\infty}|a_{N+k}| \;\le\; |a_N| \;+\;\sum_{k=1}^{\infty}q^k\,|a_N| \;=\; |a_N|\sum_{k=0}^{\infty}q^k \;=\; \frac{|a_N|}{1-q} \;<\;\infty.
Logo \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| converge, o que significa que \sum_{n=1}^{\infty}a_n é absolutamente convergente.

Passo 4

(Prova de b): caso r>1)
Se \lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=r>1, tome \varepsilon>0 tal que
Q \;=\; r - \varepsilon \;>\;1.
Então existe N para o qual, sempre que n\ge N,
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\;\ge\;Q \;\Longrightarrow\; |a_{n+1}|\;\ge\;Q\,|a_n|.
Iterando, para k\ge0:
|a_{N+k}|\;\ge\;Q^k\,|a_N|.
Como Q>1, o termo geral |a_n| não tende a zero (pelo contrário, cresce exponencialmente). Pelo teste do termo geral, a série \sum a_n diverge.

Resposta

a) Se r<1, então \sum_{n=1}^\infty a_n é absolutamente convergente.
b) Se r>1, então \sum_{n=1}^\infty a_n diverge.

Exercícios relacionados