XV. Critério de Cauchy: Suponhamos que \lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=r \in \mathbb{R}. Demonstre o seguinte:
a) Se r<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é absolutamente convergente.
b) Se r>1, a série \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} diverge.

Passo 1

O enunciado considera uma sequência (a_n) tal que
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}=r\in\mathbb{R}
e pede para demonstrar os dois casos do teste da raiz de Cauchy:
a) quando r<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty}a_n converge absolutamente;
b) quando r>1, a série \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge.
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência e comparar com séries geométricas.

Passo 2

Caso r<1. Escolha um número
q\quad\text{tal que}\quad r<q<1.
Pela definição de limite existe N\in\mathbb{N} tais que, para todo n>N,
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}<q.
Elevando ambos os lados a n temos
\lvert a_n\rvert<q^n\quad\text{para todo }n>N.
Como \sum_{n=1}^{\infty}q^n é uma série geométrica convergente (pois 0<q<1), pelo teste da comparação temos que
\sum_{n=1}^{\infty}\lvert a_n\rvert
converge. Logo \sum a_n é absolutamente convergente.

Passo 3

Caso r>1. Escolha um número
q\quad\text{tal que}\quad 1<q<r.
Novamente, pela definição de limite existe N\in\mathbb{N} tais que, para todo n>N,
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}>q,
ou seja
\lvert a_n\rvert>q^n\quad\text{para todo }n>N.
Como q>1, a sequência q^n tende a +\infty, de modo que \lvert a_n\rvert não tende a zero. Mas um requisito necessário para a convergência de qualquer série \sum a_n é a_n\to0. Assim \sum a_n não converge, isto é, diverge.

Resposta

a) Se r<1, a série \sum_{n=1}^{+\infty}a_n é absolutamente convergente.
b) Se r>1, a série \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge.

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