XV. Critério de Cauchy: Suponhamos que
. Demonstre o seguinte:
a) Se
, a série
é absolutamente convergente.
b) Se
, a série
diverge.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado considera uma sequência
tal que
e pede para demonstrar os dois casos do teste da raiz de Cauchy:
a) quando , a série
converge absolutamente;
b) quando , a série
diverge.
a) quando
b) quando
Para isso vamos usar a definição de limite de sequência e comparar com séries geométricas.
Passo 2
Caso
. Escolha um número
Pela definição de limite existe
tais que, para todo
,
Elevando ambos os lados a
temos
Como
é uma série geométrica convergente (pois
), pelo teste da comparação temos que
converge. Logo
é absolutamente convergente.
Passo 3
Caso
. Escolha um número
Novamente, pela definição de limite existe
tais que, para todo
,
ou seja
Como
, a sequência
tende a
, de modo que
não tende a zero. Mas um requisito necessário para a convergência de qualquer série
é
. Assim
não converge, isto é, diverge.
Resposta
a) Se
, a série
é absolutamente convergente.
b) Se , a série
diverge.
b) Se