XVI. Consideremos a função
contínua e suponhamos que
seja não negativa e monótona decrescente; isto é:
a)
.
b)
, sempre que
. Nessas condições, demonstre que a série
é convergente se e somente se, a integral
for convergente.
a)
b)
Passo 1
O enunciado considera uma função contínua
tal que
-
para todo , -
é monótona decrescente em .
Queremos provar que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. O conteúdo aqui é o chamado “teste da integral” para séries de termos positivos decrescentes, que compara somas de retângulos com a área sob o gráfico de
.
Passo 2
Vamos obter uma desigualdade que controle a soma pelo valor da integral. Como
é decrescente, em cada intervalo
(para
) vale
Integrando em
vem
Somando essas desigualdades de
até
dá
Logo, para a soma parcial
, temos
Passo 3
Agora obtemos o controle inverso, que limita a integral pela soma. Ainda pela monotonicidade decrescente, em cada intervalo
(para
) vale
Integramos em
e somamos de
até
:
Passo 4
Com as duas estimativas em mãos concluímos a equivalência:
- Se
converge, então ao passar em
o lado direito tende a, logo converge. - Se
converge, então em
o lado direito tem limite finito quando, de modo que converge.
Resposta
Dessa forma mostramos que, para
não negativa e decrescente,