XVI. Consideremos a função f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} contínua e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente; isto é:
a) f(x) \geq 0, \forall x \geq 1.
b) f(x) \geq f(y), sempre que 1 \leq x \leq y. Nessas condições, demonstre que a série \sum_{n=1}^{+\infty} f(n) é convergente se e somente se, a integral \int_{n=1}^{+\infty} f(x) d x for convergente.

Passo 1

O enunciado considera uma função contínua f:[1,+\infty)\to\mathbb{R} tal que
  1. f(x)\ge 0 para todo x\ge1,
  2. f é monótona decrescente em [1,+\infty).
    Queremos provar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)
converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx
converge. O conteúdo aqui é o chamado “teste da integral” para séries de termos positivos decrescentes, que compara somas de retângulos com a área sob o gráfico de f.

Passo 2

Vamos obter uma desigualdade que controle a soma pelo valor da integral. Como f é decrescente, em cada intervalo [n-1,n] (para n\ge2) vale
f(x)\;\ge\;f(n),\qquad x\in[n-1,n].
Integrando em [n-1,n] vem
\int_{n-1}^{n}f(x)\,dx \;\ge\;f(n).
Somando essas desigualdades de n=2 até n=N
\int_{1}^{N}f(x)\,dx =\sum_{n=2}^{N}\int_{n-1}^{n}f(x)\,dx \;\ge\;\sum_{n=2}^{N}f(n).
Logo, para a soma parcial \sum_{n=1}^{N}f(n), temos
\sum_{n=1}^{N}f(n) =f(1)+\sum_{n=2}^{N}f(n) \;\le\;f(1)+\int_{1}^{N}f(x)\,dx.

Passo 3

Agora obtemos o controle inverso, que limita a integral pela soma. Ainda pela monotonicidade decrescente, em cada intervalo [n,n+1] (para n\ge1) vale
f(x)\;\le\;f(n),\qquad x\in[n,n+1].
Integramos em [n,n+1] e somamos de n=1 até n=N-1:
\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx \;\le\;f(n),
\int_{1}^{N}f(x)\,dx =\sum_{n=1}^{N-1}\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx \;\le\;\sum_{n=1}^{N-1}f(n).

Passo 4

Com as duas estimativas em mãos concluímos a equivalência:
  • Se \displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx converge, então ao passar N\to\infty em
    \sum_{n=1}^{N}f(n)\le f(1)+\int_{1}^{N}f(x)\,dx
    o lado direito tende a f(1)+\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx<+\infty, logo \sum f(n) converge.
  • Se \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}f(n) converge, então em
    \int_{1}^{N}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{N-1}f(n)
    o lado direito tem limite finito quando N\to\infty, de modo que \int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx converge.

Resposta

Dessa forma mostramos que, para f não negativa e decrescente,
\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)\quad\text{converge} \quad\Longleftrightarrow\quad \int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx\quad\text{converge.}

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