XVII. Consideremos a função f:[1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} contínua e suponhamos que f(x) seja não negativa e monótona decrescente. Demonstre que se a integral \int_{1}^{+\infty} f(x) d x converge, então a série \sum_{n=1}^{+\infty} f(n) converge, e:
\int_{1}^{+\infty} f(x) d x \leq \sum_{n=1}^{+\infty} f(n) \leq f(1)+\int_{1}^{+\infty} f(x) d x .

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f:[1,+\infty)\to\mathbb{R} contínua, não-negativa e monótona decrescente, e supõe que a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx
converge. Queremos mostrar que a série
\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)
converge e satisfaz
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)\;\le\;f(1)+\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx.
O método básico é comparar a área sob a curva de f com áreas de retângulos de bases unitárias.

Passo 2

Para cada inteiro n\ge1, em x\in[n,n+1] temos, pela monotonicidade de f,
f(n+1)\;\le\;f(x)\;\le\;f(n).
Integramos esta desigualdade em x de n até n+1 e obtemos
\int_{n}^{\,n+1}f(n+1)\,dx\;\le\;\int_{n}^{\,n+1}f(x)\,dx\;\le\;\int_{n}^{\,n+1}f(n)\,dx.
Como \int_{n}^{n+1}f(n+1)\,dx=f(n+1) e \int_{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n), segue
f(n+1)\;\le\;\int_{n}^{\,n+1}f(x)\,dx\;\le\;f(n).

Passo 3

Somando a desigualdade do passo anterior para n=1,2,\dots,N-1, dá:
\sum_{n=1}^{N-1}f(n+1)\;\le\;\sum_{n=1}^{N-1}\int_{n}^{\,n+1}f(x)\,dx \;=\;\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx \;\le\;\sum_{n=1}^{N-1}f(n).

Passo 4

Reescrevendo as somas:
\sum_{n=1}^{N-1}f(n+1)=\sum_{k=2}^{N}f(k) =\sum_{n=1}^{N}f(n)\;-\;f(1),
e
\sum_{n=1}^{N-1}f(n)=\sum_{n=1}^{N}f(n)\;-\;f(N) \;\le\;\sum_{n=1}^{N}f(n),
pois f(N)\ge0. Assim a desigualdade do passo anterior vira
\sum_{n=1}^{N}f(n)\;-\;f(1)\;\le\;\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx \;\le\;\sum_{n=1}^{N}f(n).
Dessa forma
\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{N}f(n) \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{N}f(n)\;\le\;f(1)+\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx.

Passo 5

Como \displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx converge a um número finito I, as integrais parciais \int_{1}^{N}f(x)\,dx são limitadas por I. Pelas desigualdades do passo anterior, as somas parciais \sum_{n=1}^{N}f(n) ficam limitadas por I e por f(1)+I e são crescentes (pois f(n)\ge0). Logo a série \sum_{n=1}^{+\infty}f(n) converge, e tomando N\to\infty em
\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{N}f(n)\;\le\;f(1)+\int_{1}^{\,N}f(x)\,dx
obtém-se
\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{+\infty}f(n) \;\le\;f(1)+\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx.

Resposta

\displaystyle\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx\le\sum_{n=1}^{+\infty}f(n)\le f(1)+\int_{1}^{+\infty}f(x)\,dx, e portanto \sum f(n) converge.

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