XVII. Consideremos a função
contínua e suponhamos que
seja não negativa e monótona decrescente. Demonstre que se a integral
converge, então a série
converge, e:
Passo 1
O enunciado nos dá uma função
contínua, não-negativa e monótona decrescente, e supõe que a integral imprópria
converge. Queremos mostrar que a série
converge e satisfaz
converge e satisfaz
O método básico é comparar a área sob a curva de
com áreas de retângulos de bases unitárias.
Passo 2
Para cada inteiro
, em
temos, pela monotonicidade de
,
Integramos esta desigualdade em
de
até
e obtemos
Como
e
, segue
Passo 3
Somando a desigualdade do passo anterior para
, dá:
Passo 4
Reescrevendo as somas:
e
pois
. Assim a desigualdade do passo anterior vira
Dessa forma
Passo 5
Como
converge a um número finito
, as integrais parciais
são limitadas por
. Pelas desigualdades do passo anterior, as somas parciais
ficam limitadas por
e por
e são crescentes (pois
). Logo a série
converge, e tomando
em
obtém-se