XXIX. { }^{12} Encontre a série de MacLaurin de f(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt. Vamos usar expansão em série de potências de e^{-t^{2}} e integração termo a termo para obter a série de f(x).

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de e^{u} em torno de u=0:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}.
Substituindo u=-t^{2}, fica
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t^{2})^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}.

Passo 3

Como essa série converge uniformemente em qualquer intervalo compacto, podemos integrar termo a termo de 0 até x:
f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n}}{n!}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt.

Passo 4

Calculando a integral de t^{2n}:
\int_{0}^{x}t^{2n}\,dt=\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
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f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.

Passo 5

Essa é a série de Maclaurin de f(x). Seu raio de convergência é infinito, ou seja, converge para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.

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