XXXIII. 16 Encontre a representação em série de potências e determime o seu raio de convergência
f(\sqrt{x}) onde f(0)=1, f^{\prime}(0)=0 e f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{1+x^{4}}

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos a série de potências de f(\sqrt{x}), sabendo que
f(0)=1,\quad f'(0)=0,\quad f''(x)=\frac{1}{1+x^{4}}.
O conteúdo aqui é expansão em série de potências de 1/(1+x^{4}) e integração termo a termo para obter f(x), depois fazer a troca de variável x\mapsto \sqrt{x}.

Passo 2

Expandimos em série geométrica válida para \lvert x\rvert<1:
\frac{1}{1+x^{4}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n}.
Logo,
f''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{4n}.

Passo 3

Integramos uma vez para obter f'(x), usando f'(0)=0:
f'(x) =\int_{0}^{x}f''(t)\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}t^{4n}\,dt =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+1}}{4n+1}.

Passo 4

Integramos de novo para achar f(x), impondo f(0)=1:
f(x) =1+\int_{0}^{x}f'(t)\,dt =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{x}\frac{t^{4n+1}}{4n+1}\,dt =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{4n+2}}{(4n+1)(4n+2)}.

Passo 5

Fazemos a substituição x\mapsto \sqrt{x} para obter f(\sqrt{x}):
f(\sqrt{x}) =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(\sqrt{x})^{4n+2}}{(4n+1)(4n+2)} =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(4n+1)(4n+2)}.

Passo 6

O raio de convergência original da série de f''(x) é 1. Integrações termo a termo não alteram o raio, e a substituição \sqrt{x} exige \lvert\sqrt{x}\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<1. Logo o raio de convergência em x é 1.

Resposta

f(\sqrt{x}) =1+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(4n+1)(4n+2)}, \quad R=1.

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