XXXIII. 16 Encontre a representação em série de potências e determime o seu raio de convergência
onde
e
Passo 1
Resumindo o enunciado, queremos a série de potências de
, sabendo que
O conteúdo aqui é expansão em série de potências de
e integração termo a termo para obter
, depois fazer a troca de variável
.
Passo 2
Expandimos em série geométrica válida para
:
Logo,
Passo 3
Integramos uma vez para obter
, usando
:
Passo 4
Integramos de novo para achar
, impondo
:
Passo 5
Fazemos a substituição
para obter
:
Passo 6
O raio de convergência original da série de
é
. Integrações termo a termo não alteram o raio, e a substituição
exige
, ou seja
. Logo o raio de convergência em
é
.