Y&F 1.28) São dados os vetores a=4 m imath-3 m jmath e b=6 m imath-8 m jmath. Determine:
(a) O módulo de a
(b) O ângulo de a em relação ao eixo OX
(c) O módulo do vetor r=a+b
(d) O módulo do vetor s=a-b
(e) O ângulo que o vetor s faz com o eixo OY

Passo 1

Resumo rápido: a questão dá dois vetores em 2D,
vec a = 4,hatimath - 3,hatjmath, vec b = 6,hatimath - 8,hatjmath
e pede:
(a) o módulo de vec a,
(b) o ângulo de vec a em relação ao eixo OX,
(c) o módulo de vec r = vec a + vec b,
(d) o módulo de vec s = vec a - vec b,
(e) o ângulo que vec s faz com o eixo OY.
Conteúdo envolvido: operações com componentes de vetores, Teorema de Pitágoras para módulos e trigonometria básica (função arctan) para ângulos.

Passo 2

(a) Módulo de vec a: pela definição,
|vec a| = raizax^2 + ay^2 = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16 + 9 = 5 m
Aqui usei o Teorema de Pitágoras adaptado pra vetores.

Passo 3

(b) Ângulo de vec a em relação ao eixo OX:
teoricamente,
theta = arctan!l(tfracayaxr) = arctan!l(tfrac-34r) approx -36,87^circ
Como ax>0 e ay<0, vec a fica no quarto quadrante, então esse ângulo é 36,87^circ abaixo do eixo OX positivo.

Passo 4

(c) Primeiro fazemos vec r = vec a + vec b, componente a componente:
rx = 4 + 6 = 10, ry = -3 + (-8) = -11
Aí o módulo é
|vec r| = raiz10^2 + (-11)^2 = raiz100 + 121 = raiz221 approx 14,87 m

Passo 5

(d) Agora vec s = vec a - vec b:
sx = 4 - 6 = -2, sy = -3 - (-8) = 5
Módulo:
|vec s| = raiz(-2)^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29 approx 5,39 m

Passo 6

(e) Ângulo entre vec s e o eixo OY:
pra achar o ângulo mínimo entre vetor e eixo vertical, usamos
phi = arctan!l(|sx||sy|r) = arctan!l(25r) approx 21,80^circ
Isso significa que vec s forma um ângulo de 21,8^circ a partir do eixo OY positivo.

Resposta

(a) |vec a| = 5 m
(b) thetaa approx -36,87^circ (ou 36,87^circ abaixo do OX)
(c) |vec r| = raiz221approx14,87 m
(d) |vec s| = raiz29approx5,39 m
(e) ângulo entre vec s e OY: approx21,80^circ

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