y^prime prime+9 y=27 ; y(0)=4, y^prime(0)=6

Passo 1

A questão trata de uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem com coeficientes constantes: y'' + 9y = 27, sujeita às condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=6. Vamos usar a estratégia clássica: resolver a parte homogênea, encontrar uma solução particular e ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos yh'' + 9yh = 0. Montamos a equação característica:
r^2 + 9 = 0
Suas raízes são r = pm 3i, o que nos dá a solução geral homogênea:
yh(t) = Acos(3t) + Bsin(3t)

Passo 3

Em seguida, buscamos uma solução particular yp para y'' + 9y = 27. Como o termo forçante é constante, tentamos yp = C constante e, assim, yp'' = 0. Substituindo na EDO:
0 + 9C = 27 implies C = 3
Logo,
yp(t) = 3

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = Acos(3t) + Bsin(3t) + 3

Passo 5

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro em t=0:
y(0) = Acdot1 + Bcdot0 + 3 = 4 implies A + 3 = 4 implies A = 1
Derivando y(t):
y'(t) = -3Asin(3t) + 3Bcos(3t)
Em t=0:
y'(0) = -3Acdot0 + 3Bcdot1 = 6 implies 3B = 6 implies B = 2

Resposta

y(t) = cos(3t) + 2sin(3t) + 3

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