Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada (
) e encontrar uma solução particular para a equação completa. A função hiperbólica cosseno (
) está envolvida, então vamos usar propriedades das funções hiperbólicas na resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções hiperbólicas básicas:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Para isso, assumimos que a solução particular tem a forma de uma função similar ao termo não-homogêneo, que nesse caso é
. Então, vamos supor:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Para que a igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Portanto, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.