y^prime prime-y=cosh (3 x) y1=cosh (x)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial y'' - y = cosh(3x) . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada ( y'' - y = 0 ) e encontrar uma solução particular para a equação completa. A função hiperbólica cosseno ( cosh ) está envolvida, então vamos usar propriedades das funções hiperbólicas na resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' - y = 0 . A solução geral dessa equação é uma combinação linear das funções hiperbólicas básicas:
yh = A cosh(x) + B sinh(x)
onde A e B são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp ) para a equação completa y'' - y = cosh(3x) . Para isso, assumimos que a solução particular tem a forma de uma função similar ao termo não-homogêneo, que nesse caso é cosh(3x) . Então, vamos supor:
yp = C cosh(3x)
onde C é uma constante a ser determinada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp :
yp' = 3C sinh(3x)
yp'' = 9C cosh(3x)
Substituímos yp , yp' e yp'' na equação diferencial:
9C cosh(3x) - C cosh(3x) = cosh(3x)
Simplificando:
8C cosh(3x) = cosh(3x)

Passo 5

Para que a igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes devem ser iguais:
8C = 1 implies C = 18
Portanto, a solução particular é:
yp = 18 cosh(3x)

Passo 6

Finalmente, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y = yh + yp = A cosh(x) + B sinh(x) + 18 cosh(3x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = A cosh(x) + B sinh(x) + 18 cosh(3x)
onde A e B são constantes arbitrárias.

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