Encontre a solução do P.V.I. dado em termos de uma integral definida.
Encontre a solução do P.V.I. dado em termos de uma integral definida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o P.V.I.
y’=2y + x e^{2x}, y(0)=1. Esse é um EDO linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.
y’=2y + x e^{2x}, y(0)=1. Esse é um EDO linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão y’ - 2y = x e^{2x}, o coeficiente de y é -2. Calculamos o fator integrante
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
. Isso torna o lado esquerdo a derivada de
:
Passo 4
Integramos ambos os lados de 0 até x. No lado esquerdo fica
Como
, obtemos
Passo 5
Por fim, isolamos
multiplicando por
: