y^prime=2 y+x e^2 x, y(0)=1
Encontre a solução do P.V.I. dado em termos de uma integral definida.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o P.V.I.
y’=2y + x e^{2x}, y(0)=1. Esse é um EDO linear de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão y’ - 2y = x e^{2x}, o coeficiente de y é -2. Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral -2,dx=e^-2x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). Isso torna o lado esquerdo a derivada de e^-2xy:
ddxl(e^-2xyr)=x

Passo 4

Integramos ambos os lados de 0 até x. No lado esquerdo fica
e^-2xy(x)-e^0y(0)=integral0^xt,dt
Como y(0)=1, obtemos
e^-2xy(x)=1+integral0^xt,dt

Passo 5

Por fim, isolamos y(x) multiplicando por e^2x:
y(x)=e^2xl(1+integral0^xt,dtr)

Resposta

y(x)=e^2xl(1+integral0^xt,dtr)

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