Em um zoológico, pretende-se construir seis jaulas retangulares e contíguas. Se, para tanto, dispõe-se de 300 metros de gradeado, determine a área máxima que poderá ser cercada.
Passo 1
A questão pede montar seis jaulas retangulares contíguas usando 300 m de grade, de modo a maximizar a área total. O conteúdo é otimização de funções, e vamos precisar montar a relação entre perímetro usado e as dimensões de cada jaula, depois usar derivada para achar o máximo.
Passo 2
Definimos como variável
a largura de cada jaula (medida no sentido em que elas ficam lado a lado) e como
a profundidade. Então, ao colocar seis jaulas lado a lado, a extensão total horizontal é
e a vertical é
.
Para o gradeado, há duas grades horizontais de comprimento (parte de cima e de baixo) e sete grades verticais de comprimento
(as duas bordas externas mais as cinco divisórias internas). Logo, o perímetro total é
Para o gradeado, há duas grades horizontais de comprimento
Passo 3
A área total cercada é seis vezes a área de uma jaula:
Passo 4
Da equação do perímetro isolamos
:
Passo 5
Substituindo em
, temos função de
só:
Passo 6
Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
Passo 7
O valor de
é
Passo 8
Substituindo em
ou diretamente em
, a área máxima é
Resposta
A área máxima cercável é
m², isto é, aproximadamente 1607,14 m².