Em um zoológico, pretende-se construir seis jaulas retangulares e contíguas. Se, para tanto, dispõe-se de 300 metros de gradeado, determine a área máxima que poderá ser cercada.

Passo 1

A questão pede montar seis jaulas retangulares contíguas usando 300 m de grade, de modo a maximizar a área total. O conteúdo é otimização de funções, e vamos precisar montar a relação entre perímetro usado e as dimensões de cada jaula, depois usar derivada para achar o máximo.

Passo 2

Definimos como variável x a largura de cada jaula (medida no sentido em que elas ficam lado a lado) e como y a profundidade. Então, ao colocar seis jaulas lado a lado, a extensão total horizontal é 6x e a vertical é y.
Para o gradeado, há duas grades horizontais de comprimento 6x (parte de cima e de baixo) e sete grades verticais de comprimento y (as duas bordas externas mais as cinco divisórias internas). Logo, o perímetro total é
12x + 7y = 300

Passo 3

A área total cercada é seis vezes a área de uma jaula:
A = 6 cdot x cdot y

Passo 4

Da equação do perímetro isolamos y:
y = 300 - 12x7

Passo 5

Substituindo em A, temos função de x só:
A(x) = 6x cdot 300 - 12x7 = 1800x - 72x^27

Passo 6

Para maximizar, derivamos e igualamos a zero:
A'(x) = 1800 - 144x7 = 0 Rightarrow x = 1800144 = 12,5 m

Passo 7

O valor de y é
y = 300 - 12cdot12,57 = 1507 approx 21,4286 m

Passo 8

Substituindo em A ou diretamente em A(x), a área máxima é
Amax = 112507 approx 1607,14 m^2

Resposta

A área máxima cercável é tfrac112507 m², isto é, aproximadamente 1607,14 m².

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