Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes, Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais, 2ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1996, pag 185, exercício 19.

Justifique se for verdadeira ou dê um contraexemplo se for falsa a afirmação:

“Dada uma matriz A , n × n , sua fatoração L U , obtida com estratégia de pivoteamento parcial, é tal que todos os elementos da matriz L têm módulo menor ou igual a 1 .”

Passo 1

-

Essa afirmativa é verdadeira! Mas por quê? Bom, quais são os elementos que compõe a matriz L ? De forma geral ela é dada por:

1 0 ⋯ 0 0 m 21 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ m n - 1 1 m n - 1 2 ⋯ 1 0 m n 1 m n 2 ⋯ m n n - 1 1

Ou seja, ela é uma matriz triangular inferior cuja diagonal é toda igual a 1 e contém os multiplicadores usados na eliminação de Gauss.

Bom, a única coisa que pode ter módulo maior ou igual a 1 são os multiplicadores certo? E como eles são formados? Assim:

m i j = a i j p ; i > j

onde p é o pivô da linha j . Como estamos usando a estratégia de pivoteamento parcial, o pivô de uma linha, se comparado com todos os números abaixo dele na coluna, será sempre maior em módulo, e isso é garantido pelo pivoteamento.

Sendo assim, a divisão a i j p terá sempre seu módulo menor ou igual a 1 . Logo, a afirmativa é verdadeira.

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