Lista de Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

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Justifique se for verdadeira ou dê um contraexemplo se for falsa a afirmação:

“Dada uma matriz A , n × n , sua fatoração L U , obtida com estratégia de pivoteamento parcial, é tal que todos os elementos da matriz L têm módulo menor ou igual a 1 .”

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Considere as seguintes matrizes. Encontre a matriz de permutação P tal que P A pode ser fatorada no produto L U , onde L é uma matriz triangular inferior com 1 s em sua diagonal e U é triangular superior.

a A = 1 2 - 1 2 4 0 0 1 - 1

b A = 0 1 1 1 - 2 - 1 1 - 1 1

c A = 1 1 - 1 0 1 1 4 3 2 - 1 2 4 2 - 1 2 3

d A = 0 1 1 2 0 1 1 - 1 1 2 - 1 3 1 1 2 0

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Resolva os sistemas lineares abaixo através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial. Discuta a existência ou não de soluções.

a   1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 4 2 x 1 + 1 x 2 - 1 x 3 = - 1 3 x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 = 3

b 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 4 2 x 1 + 1 x 2 - 1 x 3 = - 1 3 x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 = 6  

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Obtenha a fatoração na forma A = P L U para as seguintes matrizes.

a A = 0 2 3 1 1 - 1 0 - 1 1

b A = 1 2 - 1 1 2 3 2 - 1 4

c A = 1 - 2 3 0 3 - 6 9 3 2 1 4 1 1 - 2 2 - 2

d A = 1 - 2 3 0 1 - 2 3 1 1 - 2 2 - 2 2 1 3 1

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Resolva o sistema linear abaixo através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial:

1 x 1 - 2 x 2 + 7 x 3 + 2 x 4 = - 18 2 x 1 + 5 x 2 - 3 x 3 + 1 x 4 = 31 9 x 1 - 6 x 2 + 4 x 3 + 1 x 4 = 35 4 x 1 - 3 x 2 - 6 x 3 + 7 x 4 = 15

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