Exercícios Resolvidos de Fatoração PLU

Lista 4 – Professora Luziane – UFRJ – Questão 4

Resolva os sistemas lineares abaixo através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial. Discuta a existência ou não de soluções.

a   1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 4 2 x 1 + 1 x 2 - 1 x 3 = - 1 3 x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 = 3

b 1 x 1 + 1 x 2 + 1 x 3 = 4 2 x 1 + 1 x 2 - 1 x 3 = - 1 3 x 1 + 2 x 2 + 0 x 3 = 6  

Passo 1

Se liga numa coisa, a matriz A do sistema matricial associado A x = b é a mesma pros dois casos né? Então vamos achar a decomposição P L U dela:

A = 1 1 1 2 1 - 1 3 2 0

Aplicando a eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:

L 1 ↔ L 3 :

3 2 0 2 1 - 1 1 1 1

L 2 ← L 2 - 2 3 L 1 m 21 = 2 3 :

3 2 0 2 3 - 1 3 - 1 1 1 1

L 3 ← L 3 - 1 3 L 1 m 31 = 1 3 :

3 2 0 2 3 - 1 3 - 1 1 3 1 3 1

L 3 ← L 3 - - 1 L 2 m 32 = - 1 :

3 2 0 2 3 - 1 3 - 1 1 3 - 1 0

Então ficamos com:

P = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ; L = 1 0 0 2 3 1 0 1 3 - 1 1 ; U = 3 2 0 0 - 1 3   - 1 0 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a Beleza, agora podemos resolver os sistemas!

Resolvendo L y = P - 1 b :

1 0 0 2 3 1 0 1 3 - 1 1 y 1 y 2 y 3 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 - 1 3

Lembrando que como só houve uma troca de linhas, P = P - 1 !

1 0 0 2 3 1 0 1 3 - 1 1 y 1 y 2 y 3 = 3 - 1 4

y 1 = 3

2 + y 2 = - 1

y 2 = - 3

1 + 3 + y 3 = 4

y 3 = 0

Resolvendo U x = y :

3 2 0 0 - 1 3   - 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 3 - 3 0

3 x 1 + 2 x 2 = 3

x 1 = 1 - 2 x 2 3

- x 2 3 - x 3 = - 3

x 3 = 3 - x 2 3

Então a solução é x 1 , x 2 , x 3 = 1 - 2 x 2 3 , x 2 , 3 - x 2 3

Como podemos ver, esse sistema tem infinitas soluções ;)

Passo 3

Como a matriz A é a mesma não tem necessidade de fatorarmos ela novamente. É só alterar o vetor b :

Resolvendo L y = P - 1 b :

1 0 0 2 3 1 0 1 3 - 1 1 y 1 y 2 y 3 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 - 1 6

Lembrando que como só houve uma troca de linhas, P = P - 1 !

1 0 0 2 3 1 0 1 3 - 1 1 y 1 y 2 y 3 = 6 - 1 4

y 1 = 6

4 + y 2 = - 1

y 2 = - 5

1 + 5 + y 3 = 4

y 3 = - 2

Resolvendo U x = y :

3 2 0 0 - 1 3   - 1 0 0 0 x 1 x 2 x 3 = 6 - 5 - 2

Opa, olha a última equação! Temos 0 = - 2 ! Ou seja, esse sistema não tem solução.

Resposta

a x 1 , x 2 , x 3 = 1 - 2 x 2 3 , x 2 , 3 - x 2 3

b Não possui solução.

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