Equação da Continuidade

Teoria Completa

Campo de velocidade e o princípio de conservação de massa.

Fala chefia! Como estamos?

Dando “continuidade” (hehe) aos nossos estudos sobre Mecânica dos Fluidos, vamos mudar um pouco a maneira que estávamos abordando os problemas.

Até agora a gente deu uma olhada em como resolver probleminhas de “MecFlu” usando integrais, aquele tal do Teorema de Transporte de Reynolds e não sei o que mais. Assim, nada contra, mas a gente acaba se limitando um pouco nas nossas análises. Relações integrais são muito tops pra calcular a vazão média de um sistema, força média induzida... Saca aonde quero chegar?

A gente viu somente os valores médios do estado de um sistema.

Agora se liga, vou te mostrar umas relações que vão permitir a gente conhecer o estado ponto a ponto do nosso sistema. São as famosas ou infames, relações diferenciais de escoamento de fluidos!

Ta, mas qual a importância de analisar ponto a ponto?

Vou te dar um exemplo!!

Na figura a baixo temos um escoamento dentro de uma tubulação. Com as informações que temos até agora, para calcular a velocidade na qual o fluido escoa, precisariamos saber a área do tubo e a vazão massica do fluido. E no final a velocidade que encontrassemos seria uma velocidade média!

No nosso exemplo temos escoamento de um fluido qualquer, com velocidade na direção do eixo z . Na prática existe um gradiente de velocidade em relação ao raio do tubo, isso é, a velocidade do fluido no centro do tubo vai ser diferente da velocidade na parede do tubo.

Mas como assim?

Calma! Eu só estou dando um gostinho do que a gente vai ver mais pra frente! Por hora vamos ter em mente que a equação de continuidade vai ser a primeira ferramenta que vai nos ajudar a definir o perfil de velocidade do escoamento, isso é nada mais é do que a distribuição de velocidades dentro do meu tubo.

Quem é essa tal de Equação da continuidade?

Para a gente entender bem a ideia da equação da continuidade temos que ter em mente que a massa se conserva, ou seja, em um volume de controle, o balanço de coisas que entram é igual as coisas que saem, além da porção que fica acumulada. A dedução não é tão complicada, mas o importante é a ideia.

No final a brincadeira fica com esse rostinho, sendo que ρ é a famosa massa específica e que u , v ,   w são componentes de velocidade nos eixos x , y , z , respectivamente e ( ∂ ρ ∂ t ) representa o acúmulo.

Ou seja, a variação dos fluxos de entrada e de saída é zero. Essa daí é a Equação da Continuidade.

Só que tem um problema! Se as coordenadas são x , y , z estamos falando de um escoamento dentro de um duto retangular, ou sobre uma placa plana. Mas o exemplo que a gente viu lá em cima é dentro de uma tubulação cilindrica. Como fazemos então?

Calma, pequeno gafanhoto! Existem outras formas de escrever a equação da continuidade!

Coordenadas Cilíndricas

A Equação pode ser representada em coordenadas cilíndricas também. Só que nesse caso as componentes de velocidade são v r (velocidade radial), v θ (velocidade circular) e v z (velocidade axial).

Também apareceram uns r que não tinham na outra equação, isso se deve a troca de um sistema de coordenadas para o outro, funciona como um fator de conversão.

Ahhh, finalmente podemos analisar nosso exemplo! Então vamos dar outra olhada nele e vamos aplicar a equação da continuidade:

Vamos assumir um escoamento permanente, logo de cara já riscamos o termo de acúmulo ( ∂ ρ ∂ t ) . Como já falamos o escoamento tem velocidade na direção do eixo z , então também podemos cortar as derivadas com velocidade angular   [ 1 r   ∂ ∂ θ ( ρ θ ) ] e radial [ 1 r   ∂ ∂ r ( ρ r v r ) ] .

Dessa forma ficamos com a seguinte expressão:

∂ ∂ z ρ v z = 0

E qual a interpretação física que podemos tirar disso?

A derivada de uma constante vai ser sempre igual a zero. Logo v z   é constante e podemos dizer que ao longo do eixo z a velocidade não muda!

Pronto! Agora já vimos como vamos usar a equação da continuidade!

Mas só uma dúvida! Em quais circuntâncias teriamos velocidade angular ( θ ) ou radial ( r )?

Para velocidade angular podemos imaginar uma máquina de lavar roupa, cheia de água no momento que ela esta centrifugando!

Agora para velocidade radial imagina que você pegou uma mangueira de água tapou sua extremidade, onde a água sai e fez vários furinhos no cano! Quando você ligar a torneira a água vai esguichar no sentido radial!

Forma vetorial

Podemos escrever nossas equações da seguinte maneira também, que é um pouco mais fácil de memorizar:

∂ ρ ∂ t + ∇ ∙ ρ V = 0

Sendo V = ( u , v , w )

Esse delta invertido é o que a gente chama de nabla, e no caso ele calcula o divergente do campo de velocidades. Isso nada mais é do que a derivada parcial de determinado termo nas direções do eixo de referência utilizado.

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

∇ ∙ ρ V = ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z

Agora chefe, chega mais e responde aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria.

Um caso muito comum na mecânica dos fluidos é o caso permanente e incompressível.

Deduza a expressão da Equação da Continuidade para o caso permanente, ou seja, sem variações no tempo, e incompressível, onde ρ é constante.

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Passo 1

Temos a equação da continuidade:

∂ ρ ∂ t + ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Aplicando a primeira condição de escoamento permanente

∂ f ∂ t = 0

Senfo f uma função qualquer

∂ ρ ∂ t = 0

Logo

0 + ∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z = 0

Passo 2

Se ρ é constante, podemos tirar de dentro das derivadas:

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

Colocando ρ em evidência

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como ρ é diferente de zero, podemos jogar ele pro outro lado da equação

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0 ρ = 0

Logo a expressão procurada é:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Esta expressão será bastante usada daqui pra frente nos exercícios.

Resposta

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Considere o seguinte campo de velocidade bidimensional para um escoamento permanente e incompressível:

V = x 2 y i -   x y 2 j

Essa distribuição de velocidade satisfaz a equação da continuidade? Esse escoamento é possível?

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Passo 1

Bem, na teoria, vimos que a equação da continuidade aqui na Análise Diferencial é essa aqui:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

E como o enunciado diz que o escoamento é permanente, a derivada em relação ao tempo é zero ∂ ρ ∂ t = 0 . Logo, a equação da continuidade fica assim:

∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Além disso, o fluido é incompressível, o que nos permite colocar a massa específica para fora da derivada, pois ela é constante e independe de x, y e z.

ρ ∂ u ∂ x + ρ ∂ v ∂ y + ρ ∂ w ∂ z = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Com essa equação, vamos analisar agora o perfil de velocidades!

Passo 2

Quem são u , v , e w ?

Essas letras são as componentes da velocidade em cada direção. Lembrando que o perfil de velocidade foi dado no enunciado:

V = x 2 y i -   x y 2 j

Podemos escrever em termos de cada componente:

  u = V x =   x 2 y

v = V y =   - x y 2

Como o escoamento é bidimensional:

w = V z = 0

Substituindo na equação da continuidade para regime permanente e fluido incompressível:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

∂ ( x 2 y ) ∂ x + ∂ ( - x y 2 ) ∂ y + 0 = 0

Resolvendo as derivadas parciais 2 x y - 2 x y + 0 = 0

0 = 0

Então, para a distribuição de velocidades dada, a equação da continuidade é satisfeita! Ou seja, esse escoamento é possível.

Resposta

Sim, a distribuição de velocidades dada satisfaz a continuidade.

Sim, o escoamento é possível.

Exercício Resolvido #3

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um escoamento idealizado incompressível tem a distribuição tridimensional de velocidade proposta:

V = 4 x y 2 i +   f y j - z y ² k  

Encontre a forma apropriada da função f ( y )   que satisfaz a relação da continuidade

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Passo 1

Então galera, vamos antes de tudo lembrar que u , v , e w são as componentes de V em cada direção x , y e z . Ou seja podemos reescrever o campo de velocidade V desse jeito:

u = 4 x y 2

v = f y

w = - z y 2

Nosso objetivo nesse problema é aplicar a Equação da Continuidade e procurar o formato que f ( y ) deve ter.

Passo 2

No enunciado ele nos dá uma informação também muito importante: o escoamento é INCOMPRESSÍVEL. Isso significa sempre que ρ é uma constante, logo qualquer derivada de ρ é igual a zero.

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

0 + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Colocando ρ em evidência:

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Sabendo que ρ = c o n s t a n t e ≠ 0 dividimos os dois lados por ρ :

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Passo 3

Agora precisamos encontrar os valores de ∂ u ∂ x e ∂ w ∂ z :

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 4 x y 2 = 4 y ²

∂ w ∂ z = ∂ ∂ z - z y 2 = - y ²

Substituindo na expressão da Continuidade:

4 y ² + ∂ v ∂ y - y ² = 0

∂ v ∂ y = - 4 y 2 + y ²

∂ v ∂ y = - 3 y ²

Sabemos que v = f ( y ) , ou seja não depende de nenhuma outra varíavel além de y , podemos reescrever a derivada e realizar a integração:

d v d y = - 3 y ²

d v = - 3 y 2   d y

∫ d v = ∫ - 3 y 2 d y

v = - 3   y 3 3 + C

Logo:

v = f y = - y 3 + C

Sendo C a constante de integraçã.

Resposta

f y = - y 3 + C

Exercício Resolvido #4

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

u = - K y x 2 + y 2

v =   K x x 2 + y 2

Em que K é constante. Esse campo satisfaz a continuidade incompressível? Transforme essas velocidades em componentes polares v r e v θ . O que esse escoamento pode representar?

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Passo 1

O enunciado já nos diz a seguinte informação: “Um campo de velocidade bidimensional”, isso significa que w = 0 , pois não há movimento no eixo z .

Outra informação importante é que ele nos pede para checar se o campo de velocidade satisfaz a continuidade INCOMPRESSÍVEL, ou seja, checar a continuidade para ρ = c o n s t a n t e .

Isso tudo reduz a nossa equação conforme faremos abaixo:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

0 + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + 0 = 0

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Próxima etapa é aplicar o campo definido por u e v na nossa equação, ou seja, precisamos derivar u em função de x e v em função de y :

∂ u ∂ x = ∂ ∂ x - K y ( x 2 + y 2 )

Aplicando a Regra do Quociente:

f g ' = g f ' - g ' f g ²

No nosso caso:

g = ( x 2 + y 2 ) e f = - K y

∂ ∂ x - K y ( x 2 + y 2 ) = - K y ( x 2 + y 2 ) ' = x 2 + y 2 . 0 - 2 x . ( - K y ) ( x 2 + y 2 ) ²

Arrumando as coisas:

∂ u ∂ x = 2 K x y ( x 2 + y 2 ) ²

Realizando o mesmo procedimento para ∂ v ∂ y :

∂ v ∂ y = ∂ ∂ y K x ( x 2 + y 2 )

∂ v ∂ y = x 2 + y 2 . 0 - 2 y . K x ( x 2 + y 2 ) ²

∂ v ∂ y = - 2 K x y ( x 2 + y 2 ) ²

Aplicando na Continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

2 K x y ( x 2 + y 2 ) ² - 2 K x y x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Logo, sim a Continuidade é satisfeita.

Passo 3

Para a próxima parte do problema, devemos transformar nossas coordenadas cartesianas em cilíndricas ou polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r s en ⁡ θ

Aplicando em u e v :

u = - K y ( x 2 + y 2 ) = - K r s e n ⁡ θ ( r ² cos ² ⁡ θ + r ² s e n ² ⁡ θ )

Sabendo que cos ² ⁡ θ + sin ² ⁡ θ = 1 :

u = - K r s e n ⁡ θ r ² ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 ⁡ θ ) = - K r s e n ⁡ θ r 2

u = - K r s e n ⁡ θ

Fazendo o mesmo para v :

v = K r cos ⁡ θ

Passo 4

Agora para encontrarmos v r e v θ , devemos usar as seguintes relações de transformação de velocidades cartesianas e polares:

u = v r cos ⁡ θ - v θ s e n ⁡ θ

v = v r s e n ⁡ θ + v θ cos ⁡ θ

Comparando com as expressões que encontramos no Passo 3

v r cos ⁡ θ - v θ s e n ⁡ θ = - K r s e n ⁡ θ

É o mesmo que dizer:

v r cos ⁡ θ - v θ sin ⁡ θ = 0 . cos ⁡ θ - K r s e n ⁡ θ

Logo

v r = 0

v θ = K r

E isso representa um vortex potencial.

Resposta

v r = 0

v θ = K r

Representa um vortex potencial.

Exercício Resolvido #5

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um campo de escoamento incompressível tem os componentes cilíndricos v θ = C r , v z = K R 2 - r 2 , v r = 0 , em que C e K são constantes e r ≤ R , z ≤ L . Esse escoamento satisfaz a continuidade? O que ele pode representar fisicamente?

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Passo 1

De novo um escoamento incompressível, logo ρ = c o n s t a n t e .

E mais uma vez aplicaremos o campo de velocidade a Equação da Continuidade, dessa vez na sua forma polar.

Passo 2

Sabemos pelo enunciado que:

v r = 0

v θ = C r

v z = K ( R 2 - r 2 )

Aplicando na Equação da Continuidade:

∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r ρ r v r + 1 r ∂ ∂ θ ρ v θ + ∂ ∂ z ρ v z = 0

Sabemos também que

∂ ρ ∂ t = 0

O que reduz a nossa equação aos seguintes termos, já dividindo a equação por ρ = c o n s t a n t e

1 r ∂ ( r v r ) ∂ r + 1 r ∂ v θ ∂ θ + ∂ v z ∂ z = 0

Passo 3

Agora só nos resta realizer as derivações

∂ ( r v r ) ∂ r = ∂ ( r × 0 ) ∂ r = 0

∂ v θ ∂ θ = ∂ ( C r ) ∂ θ = 0

∂ v z ∂ z = ∂ ∂ z K R 2 - r 2 = 0

Substituindo na equação:

1 r × 0 + 1 r × 0 + 0 = 0

0 = 0

Passo 4

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

No centro do cilindro o fluido não rotaciona ( v θ 0 = 0 ), apenas move-se no sentido z , com velocidade v z ( 0 ) = K R ² . Na parede do cilindro v z ( R ) = 0 e v θ ( R ) = C R , adiante veremos que isso tem o nome de hipótese do não escorregamento na parede e podemos concluir que o cilindro está rotacionando com velocidade C R .

Resposta

Esse escoamento pode representa um escoamento circular dentro de um tubo cilíndrico de raio R e altura L que está em movimento circular.

Exercício Resolvido #6

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

As coordenadas polares esféricas (r, θ, ϕ) são definidas na figura. As transformações cartesianas são

x = r   s e n   θ cos ⁡ ϕ

y = r   s e n   θ sen ⁡ ϕ

z = r   c o s   θ

A relação da continuidade cartesiana incompressível (Equação 1) pode ser transformada na forma polar esférica (Equação 2)

Equação 1

∂ u ∂ x +   ∂ v ∂ y +   ∂ w ∂ z = 0

Equação 2

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r s e n θ ∂ ∂ θ v θ s e n   θ +   1 r s e n θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0  

Qual é a forma mais geral de v r quando o escoamento é puramente radial, isto é v θ e v ϕ são nulas?

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Passo 1

Então chefe, de cara o exercício nos pede pra encontrar v r sabendo que v θ e v φ são iguais a zero.

Aplicando isso na equação da continuidade que ele nos fornece, sumimos com um monte de termos e ficamos com a seguinte expressão:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r = 0

Onde chegamos na seguinte conclusão

∂ ∂ r r 2 v r = 0

Se integrarmos a equação acima em r , chegamos na expressão para v r :

v r ( r , θ , φ ) = 1 r 2 C ( θ , φ )

Onde C θ , φ garante a generalidade da solução.

Passo 2

Aplicando a nossa função na equação, sempre teremos a continuidade satisfeita:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 1 r 2 C ( θ , φ ) = 0

1 r 2 ∂ C ( θ , φ ) ∂ r = 0

Como C ( θ , φ ) não depende de r , a derivada será sempre zero.

Resposta

v r ( r , θ , φ ) = 1 r 2 C θ , φ

Exercício Resolvido #7

Frank M. White, Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

Um pistão comprime gás em um cilindro movendo-se a uma velocidade constante V, como na figura:

Admita que a massa específica do gás e a posição do pistão em t = 0 sejam ρ 0 e L 0 , respectivamente. Considere que a velocidade do gás varie linearmente de u = V na face do pistão até u = 0 em x   = L . Se a massa específica do gás varia apenas com o tempo, encontre uma expressão para ρ ( t ) .

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Passo 1

Então, no enunciado já são dadas diversas informações que serão úteis para a gente nesse problema:

- As condições iniciais do pistão;

- O fato da velocidade variar linearmente ( u = a x + b ):

u 0 = V = b

u L = 0 = a L + V

a = - V L

Logo,

u x , t = - V L x + V

Sendo L a posição do pistão que se move com velocidade constante V ,

L = L t = L o - V t

- A massa específica só varia no tempo.

Passo 2

Olhando a equação da continuidade já podemos eliminar algumas derivadas que simplificarão nosso problema:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

d ρ d t + ρ ∂ u ∂ x = 0

Substituindo nossa expressão de u :

d ρ d t + ρ - V L = 0

d ρ d t = ρ V L

Separando as variáveis e integrando:

∫ ρ o ρ d ρ ρ = V ∫ 0 t d t L o - V t

Devemos fazer uma substituição de variáveis x = L o - V t , d x = - V d t

Logo:

d t = - d x V

x 0 = L o

x t = L o - V t

Voltando à equação:

ln ⁡ ρ ρ o = V ∫ L o L o - V t - 1 x d x V