Introdução à Condução

Teoria Completa

Lei de Fourier

Tá legal, nós já vimos a Lei de Fourier antes, tudo bem... mas como estamos falando de condução, acho mais do que justo darmos uma atenção especial a ela novamente.

A Lei de Fourier não foi desenvolvida a partir de princípios fundamentais, como boa parte das leis que estudamos ao longo da graduação, ela foi desenvolvida a partir da observação de fenômenos.

Por exemplo, vamos supor que temos um paralelepípedo de um determinado material de área transversal A , comprimento Δ x , e que suas extremidades possuem temperaturas fixas T 1 e T 2 T 1 > T 2 .

A ideia é manter duas das variáveis constantes, enquanto variamos a terceira e vemos o que acontece com a taxa de transferência de calor q c o n d . Fazendo isso, vamos observar o seguinte:

  • q c o n d é proporcional a Δ T = T 1 - T 2 ;
  • q c o n d é proporcional a A ;
  • q c o n d é inversamente proporcional a Δ x .

Mas tem algo muito importante aqui que ainda não falamos, que é sobre o material do nosso paralelepípedo. Se ele fosse feito de madeira, por exemplo, q c o n d seria menor do que se o mesmo fosse feito de ferro, concorda?

Por isso devemos levar em consideração a condutividade térmica k do material. Dessa forma, podemos escrever a taxa de transferência de calor seguinte forma:

q c o n d = k A Δ T Δ x

Fazendo Δ x → 0 , chegamos a uma expressão para a Lei de Fourier:

q c o n d = - k A d T d x  

Para o fluxo de calor por condução q c o n d ' ' :

q c o n d ' ' = q c o n d A = - k d T d x  

Obs.: O sinal negativo aparece porque o calor é transferido no sentido em que a temperatura diminui.

Mas o calor é transferido apenas em uma direção?!

Não necessariamente! Por isso, podemos escrever a Lei de Fourier para o fluxo de calor de uma forma mais geral, da seguinte forma:

q c o n d ' ' → = - k ∇ T = - k ∂ T ∂ x x ^ + ∂ T ∂ y y ^ + ∂ T ∂ z z ^  

Se liga que agora estamos tratando o fluxo de calor como uma grandeza vetorial.

Opa! Um detalhe importante é que o material onde o calor está se propagando é isotrópico, isso significa que a condutividade térmica é a mesma em todas as direções.

Raramente vai aparecer algum material que não apresente essa propriedade. Mas, se for o caso, o problema vai dizer para a gente, fica tranks.

Equação do Calor (Equação da Difusão Térmica)

Um dos principais objetivos quando analisamos a condução de calor é determinar a distribuição e temperaturas, ou seja, como a temperatura varia de ponto para ponto. Conhecida essa distribuição, podemos determinar o fluxo de calor por condução pela Lei de Fourier.

E é justamente aí que entra a Equação do Calor.

Em Mecânica dos Fluidos, a gente cansa de falar sobre conservação de massa e faz vários balanços massa, escolhendo o volume de controle adequado e tudo mais. Com a energia é o mesmo esquema.

Toda energia que entra num sistema tem que sair desse sistema, exceto nas situações em que ela vai acumulando em seu interior, ou tem algo lá dentro que consome/produz energia. Isso pode ser expresso em termos de taxa de energia E ˙ :

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Partindo desse princípio, podemos escrever a equação acima da seguinte forma:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ c p ∂ T ∂ t  

Pois bem, mestre, está é a Equação do Calor. Tcharaaaaaan! \o/

Nela, o termo q ˙ representa a taxa de geração de energia térmica, e o termo ρ c p ∂ T ∂ x representa o acúmulo de energia.

É importante frisar que o termo de acúmulo de energia está representando somente a energia sensível, ou seja, estamos desconsiderando mudanças de fase. Caso elas ocorram (o que é raro de aparecer) vamos ter que leva-la em consideração.

Dá pra simplificar a Equação do Calor?!

Cara, ótima pergunta! Até meio capciosa!

Então, dependendo das informações que o problema nos der, podemos fazer algumas simplificações aqui sim. Vamos dar uma olhada em algumas que aparecem direto.

  • Condutividade térmica constante:
  • Sendo k um valor constante, nós podemos tirá-lo de cada derivada parcial e dividir toda a equação por k . No final das contas, teremos o seguinte:

    ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 + q ˙ k = ρ c p k ∂ T ∂ t  

    Aqui vamos definir uma nova grandeza, a difusividade térmica α , dada por:

    α = k ρ c p

    Onde α = m 2 / s .

    “Mas porque você está falando isso agora?!”

    Porque esse termo acabou de aparecer na nossa Equação do Calor, além de ser uma importante propriedade térmica.

    Ela a capacidade do material de conduzir calor, em relação à sua capacidade de armazená-lo. Assim, quanto maior o valor de α , mais rapidamente o material responderá a mudanças nas condições térmicas.

    Voltando para a nossa equação, podemos escrevê-la da seguinte forma:

    ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + ∂ 2 T ∂ z 2 + q ˙ k = 1 α ∂ T ∂ t  

  • Regime estacionário:
  • Nesse caso, ∂ T / ∂ t = 0 , logo:

    ∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y + ∂ ∂ z k ∂ T ∂ z + q ˙ = 0  

  • Transferência de calor unidimensional, em regime estacionário e sem geração de energia:

O fato da transferência de calor ser unidimensional (na direção x , por exemplo) significa que temos ∂ T / ∂ y = ∂ T / ∂ z = 0 .

Assim como acabamos de ver, o regime estacionário nos diz que ∂ T / ∂ t = 0 .

E quando não temos geração de energia, podemos assumir que q ˙ = 0 .

Dessa forma, finalmente teremos:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x = 0

Condições de Contorno

Na maior parte das vezes o problema não vai nos dar as condições de contorno de um sistema já bonitinho, escrito de forma matemática. Então precisamos saber desvendar as informações que o problema der para a gente.

Basicamente, temos três tipos de condições de contorno. Vamos dar uma olhada em cada uma delas, beleza?

  1. Temperatura constante:
  2. Sendo a temperatura T s de uma parede em x = 0 constante, matematicamente, podemos escrever essa condição da seguinte forma:

    T 0 , t = T s

    Nesse caso, a temperatura se comporta da seguinte forma:

  3. Fluxo térmico constante:
  4. Se nessa mesma parede x = 0 temos agora um fluxo térmico q s ' ' constante, podemos escrever que:

    - k ∂ T ∂ x x = 0 = q s ' '

    Graficamente, a ideia é essa:

    Agora, se esse fluxo térmico é nulo, dizemos então que temos uma superfície isolada termicamente ou adiabática. Esse termo é muito importante, pois ele aparece em muitas questões. Nesse caso:

    - k ∂ T ∂ x x = 0 = 0

    E a temperatura se comporta da seguinte maneira:

  5. Convecção na superfície:

Se temos um fluido com temperatura T ∞ transferindo calor por convecção para a nossa parede x = 0 , podemos escrever que:

- k ∂ T ∂ x x = 0 = h T ∞ - T 0 , t

A ideia é essa:

Já temos o bastante aqui pra quebrar a cabeça nos exercícios, vamos lá!

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Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Considere condições de regime estacionário na condução unidimensional em uma parede plana com uma condutividade térmica de k = 50   W / m . K e uma espessura L = 0,25   m , sem geração interna de calor.

Determine o fluxo térmico e a grandeza desconhecida em cada caso e esboce a distribuição de temperaturas, indicando a direção do fluxo térmico.

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Passo 1

Vamos nessa! De acordo com o problema, vamos trabalhar com o fluxo de calor por condução q c o n d ' ' , dado por:

q c o n d ' ' = q c o n d A = - k d T d x

Como estamos trabalhando com a diferença de temperatura através de uma parede plana, podemos dizer que:

d T d x = T 2 - T 1 L

Se liga! Na tabela, temos que colocar d T / d x como K / m , mas o problema nos deu as temperaturas em ° C ... como fazemos então?!

Calma! Por conta da relação entre temperaturas em Kelvin e Celsius K = C + 273 , a variação de temperatura terá o mesmo valor, seja em graus, ou em Celsius! Então não precisamos esquentar a cabeça com isso, ok?

Além disso, teremos que determinar o sentido do fluxo térmico pra cada caso. Aqui, é importante lembrar que o fluxo térmico flui do ponto de maior temperatura para o ponto de menor temperatura.

Bom, esses conhecimentos são o suficiente pra resolver o problema. Vamos analisar, então, um caso por vez, beleza?

Passo 2

Caso 1:

Dados:

T 1 = 50 ° C

T 2 = - 20 ° C

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Vamos começar calculando a grandeza que falta na tabela, e depois usá-la pra calcular o fluxo de calor.

d T d x = T 2 - T 1 L = - 20 - 50 0,25

d T d x = - 280   K / m

Agora estamos prontos pra calcular o fluxo de calor, dado por:

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × - 280

q c o n d ' ' = 14000 W m 2 = 14 k W m 2

Como T 1 > T 2 , o fluxo térmico vai para a direita.

Passo 3

Caso 2:

Dados:

T 1 = - 30 ° C

T 2 = - 10 ° C

k = 50   W / m . K

L = 0,25   m

Mesmo esquema aqui, vamos começar calculando d T / d x para depois calcular o fluxo de calor, ok?

d T d x = T 2 - T 1 L = - 10 - - 30 0,25

d T d x = 80   K / m

q c o n d ' ' = - k d T d x = - 50 × 80

q c o n d ' ' = - 4000 W m 2 = - 4 k W m 2

Como T 1 < T 2 , o fluxo térmico fluirá para a esquerda.

Passo 4

Caso 3:

Dados:

T 1 = 70 ° C

d T d x = 160   K / m