Mecanismos de Transferência de Calor

Teoria Completa

Introdução

E aí, grande mestre? Partiu entender essa tal de Transferência de Calor? Então, se liga aí!

Sabe aqueles dias quentes pra burro? Todo mundo suando dentro da sala de aula porque o ar condicionado tá com problema. Pois é! Pra entender como que a sala é resfriada, ou como que o calor lá de fora passa pra dentro, a gente precisa estudar a transferência de calor entre os corpos.

Essa transferência vai ocorrer sempre que existir uma diferença de temperatura entre dois meios (sólidos ou fluidos).

Beleza, mas como que essa energia térmica pode fluir de um meio para outro? Isso é o que a gente chama de mecanismos de transferência. Basicamente, existem 3 formas de trocar calor: por condução, por convecção e por radiação. Vamos dar uma olhadinha em cada uma delas.

Condução

Você viu alguém queimando o dedo numa colher de pau por deixar ela na panela enquanto esquenta uma comida? Acredito que não. Mas com certeza isso já aconteceu com você ao usar uma colher de metal, não é mesmo?

A gente pode entender melhor o porquê disso ao estudar como que a energia é transportada pela colher. Essa transferência acontece de molécula em molécula até chegar no seu dedo e é isso que a gente chama de condução!

Vamos voltar para o nosso dia quente pra burro, daqueles em que do lado de fora está 45 graus e no seu quarto aquele fresquinho de 30 graus (clima de montanha)! Se você colocar a mão na parede dentro do quarto, você vai sentir que a parede também está quente! Já se perguntou como isso ocorre?!

Não?! Parabéns, então você é uma pessoa normal xD

Maaaas, vou te explicar, porque é exatamente a condução que está ocorrendo ali.

Se liga na figura abaixo:

Cara, a parte do lado de fora está a uma temperatura T 1 maior que a da parte de dentro T 2 . Sempre que temos essa diferença de temperatura, as moléculas da esquerda (que estão com uma temperatura maior) vão batendo nas da direita e transmitindo a sua energia.

Show a gente chama essa energia térmica de calor e mede a sua transmissão pelo fluxo de calor! No caso da condução a gente modela o fluxo de calor por condução q c o n d ' ' com a Lei de Fourier, que diz o seguinte:

q c o n d ' ' =   - k . d T d x

Em que k é a condutividade térmica do meio (sólido, líquido ou gasoso), no qual o calor se propaga.

Se liga que, nesse caso, a temperatura varia espacialmente somente com a coordenada x , em um outro momento vamos ver o que acontece se tivermos diferenças de temperaturas em outras direções também. :)

Para os casos de fluxo constante, a gente pode integrar a equação e fica o seguinte:

q c o n d ' ' =   - k . ∆ T ∆ x

As unidades do fluxo de calor e da condutividade térmica são, respectivamente:

q ' ' = W m 2

k = W m . K = W m . ° C

Ué isso aqui virou cálculo com essa derivada aí?! Calma! Essa é a definição do fluxo de calor em condução. Muitas vezes a gente vai simplificar essa expressão aí. No caso da parede, por exemplo, a gente vai ter:

q c o n d ' ' = k L . T 1 - T 2

Onde T 1 > T 2 , e L é a espessura por onde o fluxo passa. Essa é a equação que vamos usar nos casos de paredes planas.

Antes de continuarmos, agora que já sabemos calcular o fluxo de calor, podemos calcular a taxa de calor q da seguinte forma:

q = q ' ' . A

Onde q = W . Essa relação entre a taxa de transferência de calor q e o fluxo de calor q ' ' é válida para qualquer mecanismo de transferência.

Convecção

Vamos pegar novamente a parede do nosso dia quente pra burro. Mas agora vamos supor que está batendo aquele ventinho gostoso na parede. Se o vento estiver fresco, ele vai retirar calor da parede, certo? Então, essa troca de calor se dá por convecção.

A convecção é o mecanismo de transferência, no qual o movimento de um fluido resfria ou aquece uma superfície. A convecção é a soma de dois fenômenos: a difusão (a quantidade de energia que passa de molécula em molécula) e a advecção (a quantidade de energia que é carreada pelo movimento macroscópico do fluido).

A equação que descreve o fluxo de calor por convecção de uma superfície a temperatura T s para um meio fluido ( T ∞ ) é dada pela lei de resfriamento de Newton:

q c o n v ' ' = h . T s - T ∞

O termo h é o coeficiente de convecção. Ele é função de vários parâmetros, tais como o tipo e a temperatura do fluido, a velocidade com que o fluido escoa, entre outros. Sua unidade é dada por:

h = W m 2 . K = W m 2 . ° C

A convecção pode ser natural, quando o fluido ao redor da superfície está em repouso (quando você deixa sua sopa um tempo esfriando em cima da mesa), ou forçada, quando o fluido está escoando sobre a superfície (quando você assopra a sopa pra esfriar).

Radiação

Você reparou que os dois mecanismos ali em cima são bem diferentes um do outro? Mas, eles têm uma coisa em comum: sempre tem um sólido ou um fluido por onde o calor se propaga. Aqui na radiação, meu amigo, não precisa ter meio nenhum pro calor se propagar!

Todo corpo que tenha uma temperatura finita emite energia térmica por radiação. Então, o seu PC tá emitindo radiação pra você sentado aí na cadeira e você também tá emitindo radiação pra ele.

Mas, calma! Não precisa sair correndo, essa radiação é muito pequena, então está seguro!

A ideia da radiação é a seguinte: temos um corpo a uma temperatura T em um ambiente que está a uma temperatura T a m b .

Nesse caso, o corpo tanto vai emitir calor por radiação, quanto vai também absorver calor por radiação do ambiente. Dessa forma, o fluxo de calor por radiação é justamente a diferença entre o fluxo emitido E e uma parcela α (que o corpo é capaz de absorver) do fluxo que incide sobre ele G :

q r a d ' ' = E - α G

No final das contas, podemos escrever o fluxo de calor por radiação da seguinte forma:

q r a d ' ' = ε . σ . T 4 - T a m b 4

Onde ε é o que a gente denomina de emissividade ( ε ). Cada superfície tem um valor de emissividade diferente e ele pode variar entre 0 e 1 .

Além disso, o termo σ é a constante de Stefan-Boltzmann, que equivale a:

σ = 5,67 . 10 - 8   W . m - 2 . K - 4

Pronto! Essa é a expressão que a gente utiliza pra saber o fluxo de calor que sai de uma superfície por radiação! ^^

Pronto pra exercitar um pouco? Responde aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma janela de vidro de 1   m de largura e 2   m de altura apresenta 5   m m de espessura e condutividade térmica de k v = 1,4   W . m - 1 . K - 1 . Se as temperaturas interna e externa do vidro em um dia de inverno são 15 o C e - 20 o C respectivamente, responda:

a Qual a taxa de perda de calor através do vidro?

b Para reduzir as perdas de calor através das janelas, costuma-se utilizar construções com painel duplo, em que as duas placas de vidro são separadas por ar. Se o espaçamento entre elas for de 10   m m e as superfícies em contato com o ar tiver temperaturas de 10 o C e - 15 o C , qual a taxa de perda de calor de uma janela 1 x 2   m ? A condutividade térmica do ar é k a = 0,024   W . m - 1 . K - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a) O enunciado fala de uma janela de vidro com dimensões 1   m × 2   m × 0,005   m com temperaturas interna e externa conhecidas, como mostrado aqui no esquema:

A primeira coisa que temos que fazer é encontrar a taxa de calor que passa através desse vidro. Sabemos que essa taxa é dada por:

q c o n d = q c o n d ' ' . A

Teremos um fluxo de calor no sentido da espessura do vidro, que definimos como eixo x. Como o calor flui do corpo mais quente para o corpo mais frio, a taxa de perca de calor acontece da esquerda para a direita, no sentido positivo do eixo x.

Passo 2

a Qual a taxa de perda de calor através do vidro?

Como o calor está sendo transferido por condução através da janela, vamos usar a Lei de Fourier para determinar o fluxo de calor:

q c o n d ' ' = - k d T d x

Nesse caso, como estamos trabalhando com um problema de placa plana, podemos escrever a Lei de Fourier da seguinte forma:

q c o n d ' ' = - k v Δ T Δ x

Juntando essa expressão com a que escrevemos no Passo 1, a taxa de transferência de calor por condução será dada por:

q c o n d = q c o n d ' ' . A

q c o n d = - k v A Δ T Δ x

Como T 1 > T 2 , o calor será transferido da esquerda para a direita, no sentido positivo do eixo x , logo:

q c o n d = - k v A T 2 - T 1 L

q c o n d = k v A T 1 - T 2 L

Onde:

k v = 1,4   W . m - 1 . K - 1

A = 1   m × 2   m = 2   m 2

T 1 = 15 ° C

T 2 = - 20 ° C

L = 5   m m = 0,005   m

Obs.: Um detalhe importante aqui! Como estamos calculando uma variação de temperatura, podemos, neste caso, utilizar a temperatura tanto em graus Celsius ou Kelvin já que, nas duas escalas o cálculo da variação de temperatura nos dará o mesmo valor.

Substituindo os valores:

q c o n d = k v A T 1 - T 2 L = 1,4 × 2 × 15 - - 20 0,005

q c o n d = 19600   W

q c o n d = 19,6   k W

Passo 3

b Para reduzir as perdas de calor através das janelas, costuma-se utilizar construções com painel duplo, em que as duas placas de vidro são separadas por ar. Se o espaçamento entre elas for de 10   m m e as superfícies em contato com o ar tiver temperaturas de 10 o C e - 15 o C , qual a taxa de perda de calor de uma janela 1   m × 2   m ? A condutividade térmica do ar é k a = 0,024   W . m - 1 . K - 1 .

Agora que colocamos duas janelas de vidro uma do lado da outra, deixando um espaço entre elas ocupado por ar, a ideia é a seguinte:

Se o objetivo é reduzir a perca de calor através da janela, então esperamos encontrar uma taxa de perda de calor menor do que encontramos na letra a. Considerando que a engenhoca funcione, teremos um cômodo mais quentinho do que no primeiro caso, certo? Logo a temperatura interna da janela deverá ser maior que 15ºC!

Então como a gente pode calcular a taxa de perda de calor se não sabemos a temperatura interna da janela? Calma, vem comigo!

Temos um regime permanente, isso quer dizer que a janela não pode nem gerar, nem acumular energia (que aqui aparece na forma de calor), logo a taxa de perda de calor através janela é igual a taxa de perda de calor através do espaço entre as placas de vidro.

E essa a gente consegue calcular!!!

A taxa de calor transferida através do ar será:

q c o n d =   k a . A . T 1 - T 2 L

Onde:

k a = 0,024   W . m - 1 . K - 1

A = 1   m × 2   m = 2   m 2

T 1 = 10 ° C

T 2 = - 15 ° C

Substituindo os valores:

q c o n d = 0,024 × 2 × 10 - - 15 0,01

q c o n d = 120   W

Lembrando que na letra a achamos, q c o n d = 19600   W , que muuuuuito maior do que os 120W que terminamos de achar. Então vimos que essa engenhoca realmente funciona!!!

Resposta

a

q c o n d = 19,6   k W

b

q c o n d = 120   W

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Uma base com 5   m m de espessura de uma panela com 200   m m de diâmetro pode ser feita de alumínio ( k = 240   W . m - 1 . K - 1 ) ou cobre ( k = 390   W . m - 1 . K - 1 ). Quando utilizada para ferver água, a superfície em contato com a água fervendo no fundo encontra-se nominalmente a 110 ° C . Se o calor é transferido a partir do fogão para a panela a uma taxa de 600   W , qual a temperatura da superfície em contato com o fogo para cada um dos materiais?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A ideia aqui é a seguinte, galerinha: o fogo está transferindo calor para a base da panela a uma taxa de 600   W , esse calor é então transferido por condução através da base da panela e, por último, esse mesmo calor é transferido para a água.

O problema nos deu as condutividades térmicas pra cada material, nos deu o diâmetro da base da panela, e nos disse que a temperatura na superfície que está em contato com a água vale 110 ° C .

Show de bola! Temos tudo o que precisamos pra calcular a temperatura da superfície em contato com o fogo para cada material.

Passo 2

Com a gente já discutiu, o mecanismo aqui nessa situação que é responsável pela transferência de energia é a condução! Então, utilizando a equação de Fourier, temos:

q c o n d ' ' =   - k . d T d x

Como estamos tratando de um problema de placa plana, podemos escrever a Le ide Fourier da seguinte forma:

q c o n d ' ' =   - k . ∆ T ∆ x

O fluxo de calor está relacionado à taxa de transferência de calor da seguinte forma:

q c o n d ' ' = q c o n d A → q c o n d = q c o n d ' ' . A

q c o n d = - k A ∆ T ∆ x

Para que o calor seja transferido de baixo pra cima (no sentido positivo de x ), é necessário que a temperatura na superfície em contato com o fogo T e x t seja maior que a temperatura da superfície em contato com a água T i n t .

Dessa forma, podemos escrever a Lei de Fourier da seguinte maneira:

q c o n d = k A T e x t - T i n t L

Reorganizando essa equação podemos escrever que a temperatura da superfície em contato com o fogo será dada por:

T e x t = T i n t + q c o n d L k A

Estamos com a faca e o queijo na mão! Agora é partir pro abraço!

Passo 3

Alumínio:

T e x t A l = T i n t + q c o n d L k A l A

Onde:

T i n t = 110 ° C

q c o n d = 600   W

L = 5   m m = 0,005   m

k A l = 240   W / m K

A = π . D 2 4 = π . 0,2 2 4 = 0,0314   m 2

Substituindo os valores:

T e x t A l = 110 + 600 × 0,005 240 × 0,0314  

T e x t A l = 110,4 ° C

Passo 4

Cobre:

T e x t C u = T i n t + q c o n d L k C u A

Onde:

T i n t = 110 ° C

q c o n d = 600   W

L = 5   m m = 0,005   m

k C u = 390   W / m K

A = π . D 2 4 = π . 0,2 2 4 = 0,0314   m 2

Substituindo os valores:

T e x t C u = 110 + 600 × 0,005 390 × 0,0314  

T e x t C u = 110,24 ° C

Note que a temperatura da superfície externa da panela é ligeiramente maior para o Alumínio, mas em ambos os casos a temperatura da superfície interna equivale a 100 ° C . Isso significa dizer que ambos materiais são muito bons condutores, pois quase não há diferença de temperatura entre a superfície interna e externa.

Resposta

T e x t A l = 110,4 ° C

T e x t C u = 110,24 ° C

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um transistor de comprimento L = 10   m m e diâmetro D = 12   m m é resfriado por uma corrente de ar de temperatura T ∞ = 25 o C .

Em condições nas quais o ar mantém um coeficiente de convecção médio h = 100   W . m - 2 . K - 1 . Na superfície, qual a dissipação máxima de potência permitida se a temperatura da superfície não deve ultrapassar 85 o C ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O nosso objetivo é encontrar a taxa de calor que sai do transistor por convecção. Pelo enunciado a gente já tem informações com relação ao coeficiente de convecção ( h ), a temperatura da superfície ( T s ) e do fluido ( T ∞ ).

Então, a gente consegue calcular o fluxo de calor pela lei de resfriamento de Newton:

q c o n v ' ' = h . T s - T ∞

Substituindo os valores:

q c o n v ' ' = 100 . ( 85 - 25 )

q c o n v ' ' = 6000   W / m 2

Passo 2

Agora que já temos o fluxo, podemos calcular a taxa de dissipação da seguinte forma:

q c o n v = q c o n v ' ' . A

Como o problema nos deu o comprimento e o diâmetro do transistor, podemos concluir que esse cara é um cilindro. Assim, a área de troca térmica A será soma da área lateral do cilindro π . D . L com a área do topo π D 2 / 4 com as dimensões informadas. Logo:

A = π . D . L + π . D 2 4

Onde:

D = 12   m m = 0,012   m

L = 10   m m = 0,01   m

Substituindo os valores:

A = π . 0,012   m . 0,010   m + π . 0,012   m 2 4

A = 4,9 . 10 - 4   m 2

Voltando para a taxa de dissipação:

q c o n v = q c o n v ' ' . A

q c o n v = 6000   .   4,9 . 10 - 4

q c o n v = 2,94   W

Resposta

q c o n v = 2,94   W

Exercício Resolvido #4

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 5ed.

Um aquecedor elétrico de cartucho apresenta a mesma forma de um cilindro longo de comprimento L = 200   m m e diâmetro D = 20   m m . Em condições normais de operação, o aquecedor dissipa 2   k W , quando submerso em uma corrente de água a 20 ° C em que o coeficiente de transferência de calor é de h = 5000   W . m - 2 . K - 1 .

a Desprezando a transferência de calor a partir dos terminais do aquecedor, determine sua temperatura de superfície T s .

b Se a corrente de água for inadvertidamente interrompida enquanto o aquecedor continua operando, a superfície do aquecedor fica exposta ao ar que também se encontra a 20   o C , mas para o qual h = 50   W . m - 2 . K - 1 . Qual a temperatura da superfície correspondente? Quais as consequências de tal ocorrência?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Desprezando a transferência de calor a partir dos terminais do aquecedor, determine sua temperatura de superfície T s .

Vamos nessa, meu time! Nessa questão, nosso objetivo será entender como o tipo de fluido (água e ar) em contato com um material afeta na dissipação de calor, verificando qual deles é mais eficiente em resfriar um determinado material que está aquecido.

Alguns fluidos têm uma capacidade maior de “roubar calor” das superfícies do que outros e o que quantifica essa habilidade é o coeficiente de convecção ( h ).

O mecanismo responsável pela transferência de energia aqui nessa situação é a convecção! Então, utilizando a lei de resfriamento de Newton, temos:

q c o n v ' ' = h . T s - T ∞

O fluxo térmico q c o n v ' ' está relacionado com a taxa de transferência de calor por convecção q c o n v da seguinte forma:

q c o n v ' ' = q c o n v A → q c o n v = q c o n v ' ' . A

q c o n v = A . h . T s - T ∞

O termo A representa a área de troca térmica: é a área da superfície do material por onde ocorre a transferência de energia térmica. Como o aquecedor é cilíndrico, temos que a área total seria: área lateral + área da base + área do topo.

Entretanto, o enunciado pede pra gente desprezar a transferência de calor a partir dos terminais. Dessa forma, ficamos só com a área lateral:

q c o n v = π . D . L . h . T s - T ∞

Como o que nós queremos nos dois casos é determinar a temperatura da superfície, podemos reorganizar a equação acima da seguinte forma:

T s = T ∞ + q c o n v π . D . L . h

Passo 2

Pronto, agora a gente já pode avaliar a temperatura da superfície em cada um dos casos!

Para o caso com água escoando, teremos a dissipação de calor por convecção forçada:

T s 1 = T ∞ + q c o n v π . D . L . h 1

Onde:

T ∞ = 20 ° C

q c o n v = 2   k W = 2000   W

D = 20   m m = 0,02   m

L = 200   m m = 0,2   m