Escoamento em Dutos Circulares

Teoria Completa

Introdução

A partir de agora vamos passar a trabalhar com escoamentos no interior de dutos. E, como o próprio nome sugere, aqui vamos nos preocupar somente com os dutos circulares, beleza?!

Então vamos trabalhar na seguinte situação:

Em um tubo circular de diâmetro D = 50   m m e comprimento L = 25   m , escoa óleo de motor, com o objetivo de aquece-lo. A temperatura superficial do tubo T s é mantida em 150 ° C . A vazão de escoamento m ˙ e a temperatura do óleo na entrada do tubo T m , e n t são, respectivamente, 0,5   k g / s e 20 ° C .

O que queremos responder é: qual será a taxa de transferência de calor total q no tubo?

Bom, a taxa de transferência de calor será dada por:

Onde m ˙ ,   c p , T m , s a i   e   T m , e n t são, respectivamente, vazão mássica, calor específico, temperatura de saída e temperatura de entrada do óleo.

Agora temos dois problemas! O primeiro é que não temos a temperatura de saída T m , s a i do óleo para substituir na fórmula. O segundo é que também não temos o calor específico do óleo ( c p ).

E como a gente encontra o c p ?

Bem, para isso consultamos uma tabela onde podemos achar, não só o valor de c p , como outras propriedades do fluido. Essas propriedades estão em função da temperatura de referência, que é dada pela seguinte fórmula:

Para calcularmos a temperatura de referência também vamos precisar da T m , s a i ! E agora, o que faremos!!?

Nesse caso, a gente “chuta” uma temperatura de saída T m , s a i . No final das contas, se a temperatura que encontrarmos for bem diferente da que nós chutamos, vamos ter que refazer os cálculos utilizando a temperatura que encontramos... (sim, não tem muito o que fazer em relação a isso).

No nosso caso, como a temperatura de entrada é T m , e n t = 20 ° C e a temperatura da superfície é de 150 ° C , podemos chutar uma temperatura de saída T m , s a i = 140 ° C , de forma que:

T m = 20 ° C + 140 ° C 2 = 80 ° C = 353   K

De acordo com a tabela A.5 do Incropera, para as propriedades de óleo de motor a essa temperatura, temos:

k = 138 . 10 - 3   W / ( m . K )

P r = 490

μ = 0,032   k g / ( m . s )

c p = 2131   J / ( k g . K )

Para analisarmos o nosso problema de uma forma coerente, precisamos ter em mente qual as simplificações ou hipóteses podemos assumir no nosso problema! Sabendo disso vamos olhar as condição térmica da superfície do tubo e vamos escolher a que melhor se encaixa! Depois disso seremos capazes de calcular a temperatura de saída T m , s a i do óleo.

Condição Térmica na Superfície do Tubo

Basicamente, temos duas condições:

  • Fluxo Térmico na Superfície Constante;
  • Temperatura Superficial Constante.

Caso o fluxo térmico seja constante na superfície q s ' ' = c o n s t . , a temperatura média a uma distância x da entrada no tubo T m x será dada por:

Onde P = π . D corresponde ao perímetro da superfície.

Agora, se a temperatura superficial for constante, a temperatura média a uma distância x da entrada no tubo T m x será dada por:

Como este é justamente o caso com o qual estamos trabalhando no nosso exemplo, a temperatura na saída T m , s a i do tubo será dada para x = L , logo:

A questão é que agora precisamos do coeficiente convectivo médio h - , e a questão não nos da esse dado! Para encontra-lo precisamos recorrer as correlações para o número de Nusselt N u - D .

Correlações para Escoamento em Dutos Circulares

A relação entre o número de Nusselt e o coeficiente convectivo é dada por:

h - = N u - D . k D

Onde h - , N u - D , k e D , são respectivamente, o coeficiente médio de convecção, o número de Nusselt médio, a condutividade térmica do fluido e o diâmetro do duto .

Vou te colocar de cara pro gol aqui, ok? A tabela abaixo mostra todas as correlações para o número de Nusselt que vamos usar nesse tipo de problemas, bem como os requisitos para aplicarmos cada uma delas.

Na coluna dos requisitos temos dois aspectos que vale a pena dar uma atenção, que são:

  • Como vamos calcular o número de Reynolds para determinar se o escoamento é laminar ou turbulento;
  • Agora temos que saber se o escoamento está plenamente desenvolvido, ou não.

Vamos começar dando uma atenção para o número de Reynolds R e D .

Olha eu aqui de novo! \o/

O número de Reynolds para escoamento interno é dado por:

R e D = ρ . u m . D μ = u m . D υ

No entanto, na maioria dos casos, como no nosso problema aqui, nós vamos calcular o número de Reynolds a partir da vazão mássica, dada por:

m ˙ = ρ . u m . A t r

Isolando u m :

u m = m ˙ A t r . ρ

Sabendo que:

A t r = π D 2 / 4

Substituimos essas informações a expressão do número de Reynolds, e encontramos o seguinte:

Assim como acontece para escoamentos em placa plana, por exemplo, temos um valor mágico para o número de Reynolds a partir do qual o escoamento é turbulento. O número de Reynolds crítico R e D , c vale:

Se substituirmos os valores que temos até agora, teremos o seguinte:

R e D = 4.0,5 π . 50 . 10 - 3 . 0,032 → R e D = 398

Opa!   R e D < R e D , c . Isso significa que o nosso escoamento é laminar!

Agora só nos resta saber determinar o desenvolvimento do escoamento.

“Mas que diabéisso?!”

Desenvolvimento do escoamento

A ideia aqui é basicamente a seguinte. Assim que o fluido entra no tubo, a camada-limite térmica começa a se desenvolver, até que ela se encontra totalmente desenvolvida a partir de uma determinada distância x da seção de entrada no tubo.

Sendo assim, quando trabalhamos com escoamento interno, precisamos avaliar se a camada-limite térmica está totalmente desenvolvida, ou ainda se desenvolvendo, na região que estamos interessados.

Para o escoamento laminar o comprimento de entrada térmico x c d , t é dado por:

Para o escoamento turbulento, todas as correlações partem do princípio que o escoamento está plenamente desenvolvido. Então essa é uma preocupação que teremos, basicamente, quando o escoamento for laminar.

Voltando ao nosso problema

Como estamos no regime laminar, precisamos avaliar o desenvolvimento da camada limite.

Substituindo os valores, teremos:

x c d , t ≅ 0,05 . D . R e D . P r = 0,05.50 . 10 - 3 . 398.490

x c d , t = 487,55   m

Como o tubo tem somente 25   m de comprimento, o escoamento se encontra na região de entrada térmica.

Consultando tabela das correlações, sabendo que P r = 490 > 5 , a correlação mais adequada é a seguinte:

Substituindo os valores, encontraremos N u - D = 11,95 .

Dessa forma, o coeficiente convectivo médio será dado por:

h - = N u - D . k D = 11,95.0,138 50 . 10 - 3 → h - = 33   W / ( m 2 . K )

Agora podemos finalmente encontrar a temperatura de saída T m , s a i , dada por:

T s - T m , s a i T s - T m , e n t = exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -

T m , s a i = T s - T s - T m , e n t . exp ⁡ - P . L m ˙ . c p h -