Parâmetros Adimensionais

Teoria Completa

Introdução:

Na engenharia muitas vezes é interessante adimensionalizar as equações e combinar variáveis que formam números adimensionais. No estudo de convecção isso não é diferente, afinal é uma forma de reduzir o número total de variáveis.

Vamos dar uma olhada então e entender um pouco sobre alguns números adimensionais que vamos ver bastante em Convecção! Assim nos depararmos com eles nos próximos tópicos já vamos estar super familiarizados! Beleza?!

Número de Nusselt N u

O número de Nusselt N u é é um dos parâmetros adimensionais mais importantes. Ele é nada mais nada menos do que a forma adimensionalizada do coeficiente de transferência de calor por convecção h , então, na prática ele vai ser muito usado para encontrar o valor de h .

O número de Nusselt é dado pela seguinte expressão:

Onde L é o comprimento característico e k f é a condutividade térmica do fluido. Observando a expressão para N u , vemos que ele é proporcional a h , fisicamente isso significa que quanto mais eficiente for a transferência de calor por convecção, maior será o valor de N u .

Outro ponto importante é que, na expressão acima, o h representa o coeficiente convectivo local, isso é, em um ponto específico do meu objeto. Em muitos momentos vai ser mais interessante trabalhar com o coeficiente convectivo médio h - . Então, seguindo o raciocínio da equação acima, podemos definir o número de Nusselt médio N u - , calculado a partir de h - .

“Show de bola! Mas como fazemos pra calcular o número de Nusselt?!”

Então, não há uma equação apenas para calcular o número de Nusselt. Na real, existe uma série de equações, cada uma para um caso. Nós vamos chamar essas equações de correlações.

Para determinar qual correlação é a mais adequada, na maioria das vezes, nós vamos precisar de outros dois parâmetros adimensionais, o número de Reynolds R e e o número de Prandtl P r .

Nessas correlações, o número de Nusselt é sempre uma função tanto do número de Reynolds, quanto do número de Prandtl e, na maioria das vezes, possui a seguinte forma:

N u = C . R e m . P r n

Como eu falei, essa é uma correlação geral, pode ser que você depare com algumas expressões um pouco diferentes. Mas fica tranquilo, expressões vão ser dadas, a medida que formos avançando na matéria!

Opa! Acho que está na hora de darmos uma atenção especial a esses dois novos parâmetros.

Número de Reynolds R e

Como vimos acima, N u é uma função do número de Reynolds R e , um outro parâmetro adimensional que vai ser muito importante pra a gente!

O número de Reynolds é um parâmetro adimensional que representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas em um fluido. É ele quem nos diz se o escoamento em determinado ponto de uma superfície é laminar, turbulento. Como é dificil determinar em qual momento o escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento, definimos também uma zona de transição. Na prática, para efeitos de cálculo, definimos um ponto crítico onde o escoamento deixa de ser laminar.

Saber se o escoamento é laminar ou turbulento é bem importante pra calcularmos o número de Nusselt.

Para placas planas, por exemplo, o número de Reynolds é calculado da seguinte forma:

Sabendo que υ = μ ρ , substituindo, temos:

Onde:

  • ρ : Massa específica do fluido k g / m 3 ;
  • u ∞ : Velocidade de corrente livre do fluido m / s ;
  • x : Comprimento característico da placa m ;
  • μ : Viscosidade dinâmica do fluido k g / m . s ;
  • υ = μ ρ : Viscosidade cinemática do fluido m 2 / s .

Para achar a posição termina o escoamento A zona de transição começa a partir de um ponto crítico x c , que podemos calcular a partir do número de Reynolds crítico R e x , c .

Para problemas envolvendo placas planas, esse valor crítico é dado por:

Número de Prandtl P r

O número de Nusselt também é função do número de Prandtl ( P r ), isso significa que vamos precisar na hora de calcular N u . Então vamos falar um pouquinho dele também!

O número de Prandtl é a razão entre as difusividades de momento e térmica.

Na verdade, a gente nunca chega a ter que calcular o valor do número de Prandtl, porque ele é tabelado. Assim, na maioria dos exercícios, a primeira coisa que a gente faz é determinar as propriedades do fluido para uma temperatura de referência e, entre essas propriedades está o número de Prandtl. :)

Já estamos prontos pra partir pros exercícios!

Por fim, eu coloquei aqui um breve resumo de parâmetros adimensionais importantes em transferência de calor, alguns inclusive já trabalhados na parte de Condução.

Bônus: Outros Parâmetros Adimensionais

Vou te colocar de cara pro gol, se liga:

  • Número de Prandtl ( P r ) :
  • Razão entre as difusividades de momento e térmica.

  • Número de Biot B i :
  • Razão entre a resistência térmica de condução de um sólido e a resistência térmica de convecção na camada limite. Ele vai se muito utilizado nas questões de condução transiente!

    Onde k s é a condutividade térmica do sólido.

  • Número de Fourier F o :
  • Razão entre a taxa condutiva de calor e a taxa de armazenamento de energia térmica em um sólido. Ele corresponde ao parâmetro adimensional do tempo. E onde o tempo é muito importante? Justamente quando as nossas propriedades variam com ele! Ou seja, o número de Fourier vai ser usado nas questões de condução transiente!

    Onde α = k / ρ c p é a difusividade térmica.

  • Número de Nusselt N u :
  • Razão entre transferência de calor por convecção e somente por condução.

    Onde k f é a condutividade térmica do fluido.

  • Número de Reynolds R e :

Razão entre as forças de inércia e as forças viscosas.

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Foram efetuados experimentos para determinar coeficientes de transferência de calor locais para o escoamento perpendicular a uma longa barra isotérmica de seção transversal retangular. A barra tem largura c , paralela ao escoamento, e altura d , normal ao escoamento.

Para números de Reynolds na faixa de 10 4 ≤ R e d ≤ 5 × 10 4 , os números de Nusselt médios nas superfícies são correlacionados por uma expressão na forma

N u d = h - d k = C . R e d m . P r 1 / 3

Os valores de C e m para a face frontal, faces laterais e face posterior da barra retangular foram determinados e são mostrados a seguir:

Determine o valor do coeficiente de transferência de calor de cada face da superfície exposta em um barra retangular com c = 40   m m e d = 30   m m .

A barra está exposta ao escoamento cruzado de ar com V = 10   m / s e T ∞ = 300   K .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos nessa!

O problema já nos deu que:

N u d = h - d k = C . R e d m . P r 1 / 3

Antes de qualquer coisa, vamos ver quais valores de C e m vamos usar pra resolver o problema.

Pra isso, de acordo com a tabela, precisamos calcular a razão c / d , onde c = 40   m m e d = 30   m m .

c d = 40 30 = 1,33

Show de bola! Olhando agora pra tabela, vemos que, para c / d = 1,33 :

  • Face frontal: C = 0,674 e m = 1 / 2 ;
  • Face lateral: C = 0,107 e m = 2 / 3 ;
  • Face posterior: C = 0,153 e m = 2 / 3 ;

Passo 2

Outra coisa que vamos precisar para calcular o coeficiente convectivo é o número de Reynolds, dado por:

R e d = V d υ

Então vamos aproveitar e buscar no livro todas as propriedades que vamos precisa pra resolver o problema. Pra isso, vou pegar aqui da tabela A.4 do Incropera os dados do ar a T ∞ = 300   K :

k = 0,0263   W / m K

υ = 1,589 × 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,707

Voltando para o número de Reynolds:

R e d = V d υ = 10 × 30 × 10 - 3 1,589 × 10 - 5

R e d = 18.880

Passo 3

Agora estamos prontos pra calcular o danado do Nusselt pra cada face, lembrando que:

N u d = h d k = C . R e d m . P r 1 / 3

Face frontal:

N u d , f = 0,674 × 18.880 1 / 2 × 0,707 1 / 3

N u d , f = 82,44

Face lateral:

N u d , l = 0,107 × 18.880 2 / 3 × 0,707 1 / 3

N u d , l = 67,36

Face posterior:

N u d , p = 0,153 × 18.880 2 / 3 × 0,707 1 / 3

N u d , p = 96,43

Passo 4

Agora é partir pro abraço e calcular os coeficientes convectivos, beleza?

Lembrando que:

N u d = h - d k → h - = N u d . k d

Face frontal:

h - f = 0,0263 × 82,44 30 × 10 - 3

h - f = 72,27   W / m 2 K

Face lateral:

h - l = 0,0263 × 67,36 30 × 10 - 3

h - l = 59,05   W / m 2 K

Face posterior:

h - p = 0,0263 × 96,43 30 × 10 - 3

h - p = 84,54   W / m 2 K

Resposta

h - f = 72,27   W / m 2 K

h - l = 59,05   W / m 2 K

h - p = 84,54   W / m 2 K