Escoamento em Placa Plana

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Teoria

Introdução

Agora que já estamos voando em convecção, estamos prontos pra jogar com os grandes!

Como o próprio título adiantou, estamos preocupados aqui somente com o escoamento em placa plana.

O que queremos aqui é entender como determinar o coeficiente convectivo pra diferentes situações! Basicamente, vamos dividir esse conteúdo em situações onde consideramos a temperatura da placa constante, e onde consideramos o fluxo térmico constante. Show?

Antes de seguirmos em frente, uma coisa muito importante!!! Nós vamos ver aqui uma série de correlações, as equações têm uns números bem esquisitos, mas a boa notícia é que você não precisa decorar as equações!

Vou colocar todas elas aqui mas, se precisar delas durante uma prova, o seu livro (Ozisik, Incropera, Çengel, etc) com certeza tem essas correlações. O que precisamos saber é como as escolhes e aplicá-las. De boa?!

As correlações vão nos dar o número de Nusselt N u e, a partir desse cara, a gente calcula o coeficiente convectivo h .

Relaxa, no final eu vou lançar um passo-a-passo diferenciado pra você!

Então partiu!

Escoamento sobre uma Placa Isotérmica

Esse é o caso que vimos até esse momento, onde consideramos que toda a placa tem uma temperatura constante. Então, a ideia é essa:

Para esse caso, quando precisarmos pegar os dados do fluido na tabela, vamos utilizar a temperatura de filme T f , dada por:

Pra facilitar a nossa vida, eu montei essa tabelinha para a gente!

Onde P e x é o número de Peclet, definido por P e x = R e x . P r .

No regime laminar, os números de Nusselt local e médio estão relacionados da seguinte forma:

“Opa! Mas o intervalo do número de Reynolds é o mesmo para a região de transição e o Escoamento Turbulento! Qual deles eu uso?!”

Cara! Muito boa a sua pergunta! Então, se estivermos interessados em calcular o coeficiente pontual, vamos utilizar a equação do escoamento turbulento, e se quisermos calcular o coeficiente médio h - , usamos a equação para a região de transição. Beleza?

Ainda sobre a região de transição, se considerarmos o número de Reynolds crítico na equação para o número de Nusselt médio. Dessa forma, teremos que:

Caso o escoamento seja turbulento em toda a placa (ou quando temos uma pequena parte da placa com escoamento laminar), podemos calcular o número de Nusselt médio através da seguinte expressão:

Viu como as equações são esquisitas?

Se você ficar muito tempo olhando pra elas, é capaz dos seus olhos começarem a suar. Mas como eu disse antes, basta calcular o número de Reynolds, ver o valor do número de Prandtl e escolher a equação mais adequada pra resolver a nossa vida. :)

Escoamento sobre uma Placa com Fluxo Térmico Preescrito

Na real, esse não é um caso que aparece tanto mas, não estamos muito na vibe de dar margem pro azar, certo?

A ideia agora é basicamente essa:

Então vou lançar aqui uma tabela muito parecida com o que vimos antes, ok?

Como temos o fluxo de calor q s ' ' , podemos calcular a taxa de transferência de calor q sem esquentar muito a cabeça:

q = q s ' ' . A s

Dessa forma, acaba não sendo necessário calcular o coeficiente convectivo médio h - . No entanto, nós podemos calcular a temperatura superficial média T s - T ∞ - , dada por:

T s - T ∞ - = q s ' ' . L k . N u - L

Onde N u - L = 0680 . R e L 1 / 2 . P r 1 / 3 .

Então, fique esperto pra ver se o problema vai ter dar uma placa com temperatura constante, ou com fluxo térmico constante, combinado?

Passo-a-passo diferenciado

“Peguei um problema de convecção externa, o que eu faço?!”

Como o objetivo final quando trabalhamos com convecção é calcular justamente o coeficiente convectivo h , vamos fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: No caso de uma placa isotérmica, essa temperatura é a temperatura de filme. Utilize essa temperatura pra pegar os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: Utilize o número de Reynolds pra determinar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h x é usado para determinar o fluxo q x ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo h .
  6. Seja feliz! :)

Vamos aplicar isso na prática?! ;)

Escoamento sobre uma Placa Isotérmica

Escoamento sobre uma Placa com Fluxo Térmico Preescrito

Passo-a-passo diferenciado

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Uma placa plana, com largura de 1   m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme T s = 150 ° C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10   m m e comprimento b = 50   m m , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior.

Ar atmosférico a 25 ° C escoa sobrea a superfície da placa a uma velocidade de 30   m / s . As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5,2   W / ( m . K ) , c p = 320   J / ( k g . K ) e ρ = 2300   k g / m 3 .

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

Passo 1

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

Vamos nessa! Queremos encontrar a geração de energia , q ˙   W / m 3 , para isso considerando o balanço de energia, temos:

q ' ' c o n v = q ' ' g e r a ç ã o

Sabendo que:

q ' ' c o n v = h - T s - T ∞ e q ' ' g e r a ç ã o = q ˙ . a

Substituindo, as expressões a cima, podemos calcular q ˙ :

q ˙ = h - T s - T ∞ a

Passo 2

Agora, que sabemos como calcular q ˙ precisamos achar o coeficiente médio de convecção ( h - ):

O problema nos deu as propriedades do módulo, mas não nos deu as propriedades do ar. Assim, usando a temperatura de filme como referência, temos que:

T f = T s + T ∞ 2 = 150 + 25 2 → T f = 87,5 ° C = 360,5   K

Sabendo a temperatura de filme, podemos achar as propriedades do ar.

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos que:

k f = 0,0308   W / ( m . K )

υ = 22,07 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,698

Passo 3

Com as propriedades dos fluidos em mãos, podemos calcular o número de Reynolds:

R e L = u ∞ L υ

Como estamos interessados no módulo a 700   m m da aresta frontal, L = 700   m m = 0,7   m . Dessa forma:

R e L = 30.0,7 22,07 . 10 - 6 → R e L = 9,515 × 10 5

Opa! R e L > 5 × 10 5 . O escoamento não é laminar nessa região!

Passo 4

A questão agora é a seguinte! Como estamos interessados em calcular a taxa de transferência de calor do módulo localizado a 700   m m da aresta frontal da placa, não é uma boa usarmos a expressão para o número de Nusselt médio, porque ele vai nos dar o coeficiente convectivo médio ao longo de todos os 700   m m .

Nesse caso, o coeficiente convectivo médio desse módulo que estamos interessados vai ser aproximadamente igual ao coeficiente convectivo local no centro desse módulo.

h - ≅ h x

Então, vamos utilizar o número de Nusselt local N u x no centro do módulo.

Já calculamos o número de Reynold para L = 0,7   m , mas agora estamos interessados em uma nova posição, no centro do módulo que tem comprimento b = 50   m m = 0,05   m .

Dessa forma, vamos calcular o novo número de Reynolds, agora para L ' = L + b / 2 :

R e = V L ' υ = 30   . 0,7 + 0,05 2 22,07 × 10 - 6 → R e = 9,855 . 10 5

Como sabemos que o escoamento é turbulento em toda placa, vamos usar a seguinte correlação:

N u x = 0,0296 . R e x 4 / 5 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u x = 0,0296 . 9,855 . 10 5 4 / 5 . 0,698 1 / 3

N u x = 1637

Passo 5

O coeficiente convectivo médio no módulo será, então:

h - ≅ h x = N u x . k f x

Substituindo os valores:

h - = 1637.0,0308 0,725 → h - = 69,5   W / ( m 2 . K )

Passo 6

Agora que achamos h - finalmente temos todas as variáveis necessárias pra calcular a geração de energia necessária ( q ˙ ) , que será:

q ˙ = h - T s - T ∞ a = 69,5 . 150 - 25 0,01

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

Passo 7

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

O fluxo de energia gerada no módulo deve ser igual ao fluxo de calor por condução no mesmo.

Partindo do princípio que a energia é gerada no centro do módulo, a temperatura será máxima neste mesmo ponto, a uma distância a / 2 da superfície do módulo. Logo:

k . T m á x - T s a / 2 = q ˙ . a

Reorganizando a equação:

T m á x = T s + q ˙ a 2 2 k

Substituindo os valores:

T m á x = 150 + 8,7 . 10 5 . 0,01 2 2.5,2

T m á x = 158,4 ° C

Resposta

a

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

b

T m á x = 158,4 ° C

Exercício Resolvido #2

(Adaptada) Seja uma placa plana sujeita a um escoamento paralelo (superior e inferior) caracterizado por u ∞ = 5   m / s , T ∞ = 20 ° C .

a Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 2   m e largura w = 2   m , para o escoamento de ar e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

b Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 0,1   m e largura w = 0,1   m , para o escoamento de água e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

Passo 1

Logo de cara, tanto para a letra a , quanto a para a letra b , vamos determinar as propriedades que vamos usar ao longo do problema, beleza?

Pra diferenciais, vou chamar os resultados referentes à temperatura superficial de 50 ° C de 1, e para a temperatura superficiais de 80 ° C , de 2.

Letra a – Ar

Temperatura de filme:

T f 1 = 50 + 20 2 → T f 1 = 35 ° C = 308   K

T f 2 = 80 + 20 2 → T f 2 = 50 ° C = 323   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r 1 = 0,706 P r 2 = 0,704 k 1 = 26,9 . 10 - 3   W / ( m . K ) k 2 = 28,0 . 10 - 3   W / ( m . K ) υ 1 = 1,669 . 10 - 5   m 2 / s υ 2 = 1,82 . 10 - 5   m 2 / s

Letra b – Água

Temperatura de filme:

T f 1 = 35 ° C = 308   K

T f 2 = 50 ° C = 323   K

De acordo com a tabela A.6 do Incropera:

P r 1 = 4,85 P r 2 = 3,56 k 1 = 0,625   W / ( m . K ) k 2 = 0,643   W / ( m . K ) υ 1 = 7,291 . 10 - 7   m 2 / s υ 2 = 5,543 . 10 - 7   m 2 / s

Show! Agora podemos seguir em frente!

Passo 2

a Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 2   m e largura w = 2   m , para o escoamento de ar e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

Precisamos do número de Reynolds pra escolher a correlação adequada:

R e L 1 = u ∞ L υ 1 = 5.2 1,669 . 10 - 5 = 5,99 . 10 5

R e L 2 = u ∞ L υ 2 = 5.2 1,82 . 10 - 5 = 5,49 . 10 5

De acordo com os números de Reynolds, não estamos no regime laminar.

Passo 3

Como estamos interessados em calcular os coeficientes convectivos médios, vamos utilizar a correlação para a região de transição, considerando R e x , c = 5 . 10 5 . Logo:

N u - 1 = 0,037 . R e L 1 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 1 = 0,037 . 5,99 . 10 5 4 / 5 - 871 . 0,706 1 / 3       →       N u - 1 = 604

N u - 2 = 0,037 . R e L 2 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 2 = 0,037 . 5,49 . 10 5 4 / 5 - 871 . 0,704 1 / 3     →     N u - 2 = 511

Passo 4

Os coeficientes convectivos médios serão:

h - 1 = N u - 1 . k 1 L = 604.26,9 . 10 - 3 2

h - 2 = N u - 2 . k 2 L = 511.28,0 . 10 - 3 2

Passo 5

Como há troca de calor nas superfícies superior e inferior, a taxa total de transferência de calor será:

q 1 = h - 1 . 2 A s . T s - T ∞ = 8,13.2 . 2 2 . 50 - 20

q 2 = h - 2 . 2 A s . T s - T ∞ = 7,16.2 . 2 2 . 80 - 20

Passo 6

b Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 0,1   m e largura w = 0,1   m , para o escoamento de água e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

Começando pelo número de Reynolds:

R e L 1 = u ∞ L υ 1 = 5.0,1 7,291 . 10 - 7 = 6,86 . 10 5

R e L 2 = u ∞ L υ 2 = 5.0,1 5,543 . 10 - 7 = 9,02 . 10 5

De acordo com os números de Reynolds, não estamos no regime laminar.

Passo 7

Como estamos interessados em calcular os coeficientes convectivos médios, vamos utilizar a correlação para a região de transição, considerando R e x , c = 5 . 10 5 . Logo:

N u - 1 = 0,037 . R e L 1 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 1 = 0,037 . 6,86 . 10 5 4 / 5 - 871 . 4,85 1 / 3       →       N u - 1 = 1450

N u - 2 = 0,037 . R e L 2 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 2 = 0,037 . 9,02 . 10 5 4 / 5 - 871 . 3,56 1 / 3       →       N u - 2 = 1952

Passo 8

Os coeficientes convectivos médios serão:

h - 1 = N u - 1 . k 1 L = 1450.0,625 0,1

h - 2 = N u - 2 . k 2 L = 1952.0,643 0,1

Passo 9

Como há troca de calor nas superfícies superior e inferior, a taxa total de transferência de calor será:

q 1 = h - 1 . 2 A s . T s - T ∞ = 9062,5.2 . 0,1 2 . 50 - 20

q 2 = h - 2 . 2 A s . T s - T ∞ = 12550.2 . 0,1 2 . 80 - 20

Resposta

a

b

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) Considere uma aleta retangular que é usada para resfriar o motor de uma motocicleta. A aleta possui 0,15   m de comprimento e está a uma temperatura de 250 ° C , quando a motocicleta desloca-se a uma velocidade de 80   k m / h em ar a 27 ° C .

O ar encontra-se em escoamento paralelo às superfícies da aleta e condições de escoamento turbulento podem ser admitidas ao longo de toda a superfície.

Qual é a taxa de remoção de calor por unidade de largura da aleta?

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer aqui é determinar as propriedades do ar à temperatura de filme T f , que é a nossa referência.

T f = T s + T ∞ 2 = 250 + 27 2

T f = 138,5 ° C = 411,5   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,69

k = 0,0346   W / ( m . K )

υ = 27,85 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 2

Nesse caso, nem precisamos calcular o número de Reynolds pra escolher a correlação que vamos usar. Isso porque o próprio problema já nos disse que o ar encontra-se em condições de escoamento turbulento.

E, para situações onde temos escoamento turbulento sobre toda a placa, a correlação adequada é essa aqui:

N u - L = 0,037 . R e L 4 / 5 . P r 1 / 3 = 0,037 × 80 3,6 × 0,15 27,85 × 10 - 6 4 / 5 × 0,69 1 / 3

N u - L = 378

Passo 3

O coeficiente convectivo médio será dado por:

N u - L = h - L k → h - = N u - L . k L

Substituindo os valores:

h - = 378 × 0,0346 0,15

h - = 87   W / ( m 2 . K )

Passo 4

Como o ar escoa pelos dois lados da aleta retangular, a taxa de transferência de calor por unidade de largura será:

q ' = 2 L . h - . T s - T ∞

Substituindo os valores:

q ' = 2 × 0,15 × 87 × 250 - 27

Resposta

Exercício Resolvido #4

Placas de aço (AISI 1010), de espessura δ = 6   m m e lados de comprimento L = 1   m , são transportadas na saída de um processo de tratamento térmico e simultaneamente resfriadas por ar atmosférico com velocidade u ∞ = 10   m / s e T ∞ = 20 ° C em escoamento paralelo sobre as placas.

Para uma temperatura da placa inicial de T i = 300 ° C , qual é a taxa de transferência de calor saindo da placa? Qual é a taxa de variação da temperatura da placa correspondente? A velocidade do ar é muito maior do que a velocidade da placa.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, precisamos definir as propriedades dos materiais.

Para o aço (AISI 1010), vamos usar como referência a temperatura inicial da placa T i = 300 ° C = 573   K . Dessa forma, de acordo com a tabela A.1 do Incropera:

k p = 49,2   W / ( m . K )

c p = 549   J / ( k g . K )

ρ = 7832   k g / m 3

Já para o ar, vamos usar como referência a temperatura de filme T f = T i + T ∞ / 2 = 160 ° C = 433   K . De acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,688

k a r = 0,0361   W / ( m . K )

υ = 30,4 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 2

Para calcular a taxa de transferência de calor, vamos precisar do coeficiente convectivo médio h - mas, antes disso, precisamos calcular o número de Reynolds pra decidir qual correlação vamos usar:

R e L = u ∞ L υ = 10 × 1 30,4 × 10 - 6 = 3,29 × 10 5 < R e x , c = 5 × 10 5

Logo, vamos usar a correlação de h - para escoamento laminar.

Passo 3

A correlação adequada é a seguinte:

N u - L = 0,664 . R e 1 / 2 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u - L = 0,664 × 3,29 × 10 5 1 / 2 × 0,688 1 / 3

N u - L = 336

Passo 4

O coeficiente convectivo médio será dado por:

N u - L = h - L k → h - = N u - L . k L = 336 × 0,0361 1

h - = 12,1   W / ( m 2 . K )

Passo 5

Finalmente, a taxa de transferência de calor será dada por:

q = h - . A s . T i - T ∞

Como o ar escoa pelos dois lados da placa, A s = 2 A = 2 L 2 , onde A corresponde à área de cada lado da placa. Logo:

q = 12,1 × 2 × 1 2 × 300 - 20

Passo 6

Fazendo o balanço de energia na placa, temos que:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como não temos energia entrando e sendo gerada na placa:

- E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a

Dessa forma:

- h - . 2 L 2 . T i - T ∞ = ρ . c p . d T d t . V o l

- h - . 2 L 2 . T i - T ∞ = ρ . c p . d T d t . L 2 . δ

Reorganizando os tempos da equação, a taxa de variação da temperatura da placa correspondente será:

d T d t = - h - . 2 L 2 . T i - T ∞ ρ . c p . δ

Substituindo os valores:

d T d t = - 12,1 × 2 × 1 2 × 300 - 20 7832 × 549 × 0,006

d T d t = - 0,26   ° C / s

Resposta

Exercício Resolvido #5

Cem componentes elétricos, cada um dissipando 25   W , estão fixados a superfície de uma placa quadrada de cobre 0,2 m × 0,2 m , e toda a energia dissipada é transferida para a água que se encontra em escoamento paralelo sobre a superfície oposta.

Uma protuberância na aresta frontal da placa atua na perturbação da camada-limite e a placa pode ser considerada isotérmica. A velocidade e a temperatura d água são u ∞ = 2 m / s e T ∞ = 17 ° C , e as propriedades termofísicas da água podem ser aproximadas por υ = 0,96 × 10 - 6   m 2 / s , k = 0,620   W / ( m . K ) e P r = 5,2 .

a Qual é a temperatura da placa de cobre?

b Se cada componente possui uma área superficial de contato com a placa de cobre igual a 1   c m 2 e a resistência térmica de contato é igual a 2 × 10 - 4   m 2 . K / W , qual é a temperatura dos componentes? Despreze a variação de temperatura ao longo da espessura da placa de cobre.

Passo 1

a Qual é a temperatura da placa de cobre?

Da equação da taxa de transferência de calor por convecção, temos que:

q = h - . A . T s - T ∞

Podemos reorganizar essa equação e encontrar a temperatura na superfície da placa:

T s = T ∞ + q h - . A

Show de bola! Precisamos calcular o coeficiente convectivo médio pra resolver o problema.

Passo 2

Nesse caso, o problema foi até bom com a gente, porque ele já nos deu as propriedades da água e nos disse que o escoamento ao longo de toda a placa é turbulento. Ou seja, podemos utilizar a seguinte expressão para o número de Nusselt médio:

N u - L = 0,037 . R e 4 / 5 . P r 1 / 3

N u - L = 0,037 . u ∞ . L υ 4 / 5 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u - L = 0,037 . 2 × 0,2 0,96 × 10 - 6 4 / 5 . 5,2 1 / 3

N u - L = 2008

Passo 3

O coeficiente convectivo médio será dado por:

h - = N u - L . k L = 2008 × 0,62 0,2

h - = 6224   W / ( m 2 . K )

Passo 4

Substituindo o valor de h - na expressão que chegamos no Passo 1, teremos:

T s = T ∞ + q h - . A

T s = 17 + 25 × 100 6224 × 0,2 × 0,2

T s = 27 ° C

Obs.: Multiplicamos a taxa de transferência de calor por 100 pois estamos trabalhando com cem componentes elétricos.

Passo 5

b Se cada componente possui uma área superficial de contato com a placa de cobre igual a 1   c m 2 e a resistência térmica de contato é igual a 2 × 10 - 4   m 2 . K / W , qual é a temperatura dos componentes? Despreze a variação de temperatura ao longo da espessura da placa de cobre.

Levando em conta a resistência de contato, a taxa de transferência de calor através de cada componente será dada por:

q c = T c - T s R t , c = T c - T s R t , c ' ' / A c = A c T c - T s R t , c

Reorganizando a equação, teremos:

T c = T s + q c . R t , c ' ' A c

Substituindo os valores:

T c = 27 + 25 × 2 × 10 - 4 10 - 4

Obs.: A c = 1   c m 2 = 10 - 4   m 2 .

Resposta

a

T s = 27 ° C

b

Exercício Resolvido #6

O número de Nusselt médio no escoamento laminar sobre uma superfície plana rugosa de comprimento igual a 1m, é dado por:

N u - = 0,12 . R e L 0,8 . P r 0,25

Determine qual dentre dois fluidos (A e B) deve ser escolhido para resfriar a placa, considerando que a taxa de calor transferido deve ser a mesma com os dois fluidos. Justifique sua resposta. As propriedades dos fluidos são dadas na tabela abaixo:

Passo 1

Se a taxa de calor transferido deve ser a mesma para os dois fluidos, o coeficiente convectivo h - deve ser o mesmo para os dois fluidos.

h - A = h - B

O coeficiente convectivo está associado como o número de Nusselt pela seguinte equação:

h - = N u - . k L

Substituindo a expressão dada pelo problema:

h - = 0,12 . R e L 0,8 . P r 0,25 . k L

Onde R e L é dado por:

R e L = ρ . v . D μ

E o número de Prandtl é dado por:

P r = c p . μ k

Assim, o coeficiente convectivo será:

h - = 0,12 . ρ . v . D μ 0,8 . c p . μ k 0,25 . k L

Já que ambos os fluidos precisam de um mesmo coeficiente convectivo, o fluido mais apropriado será o que necessitar de menor velocidade de bombeamento (já que, gastaríamos menos energia pra bombeá-lo).

Passo 2

Igualando as expressões do coeficiente convectivo dos dois fluidos, teremos:

h - A = h - B

0,12 . ρ A . v A . D μ A 0,8 . c p A . μ A k A 0,25 . k A L = 0,12 . ρ B . v B . D μ B 0,8 . c p B . μ B k B 0,25 . k B L

Arrumando um pouco a casa:

v B v A = μ B . ρ A μ A . ρ B . k B . c p A . μ A k A . c p B . μ B 0,25 / 0,8 . k A k B 1 / 0,8

Com a casa arrumada, basta substituir os valores:

v B v A = 0 , 0002 × 1000 0 , 001 × 1200 × 1 × 4200 × 0 , 001 0 , 6 × 2800 × 0 , 0002 0,25 / 0,8 . 0 , 6 1 1 / 0,8

v B v A = 0,2

Assim, o fluido B é o mais adequado por necessitar de menor velocidade de bombeamento.

Resposta

O fluido B é o mais adequado por necessitar de menor velocidade de bombeamento.

Exercício Resolvido #7

(Adaptado) No processo de secagem de duas superfícies de mesmas dimensões (comprimento L = 5 m e largura W = 1 m ), mas com diferentes rugosidades, o regime de escoamento do ar sobre a superfície (na direção longitudinal) é turbulento.

As temperaturas das superfícies são T s = 90 ° C , e longe dela a temperatura do fluido é T ∞ = 20 ° C . Na superfície 1, o coeficiente de troca de calor é dado por: h 1 = 10 x - 0,3 ; e na superfície 2, h 2 = 5 x - 0,5 , todos os valores em unidades SI. Para as duas situações, determine:

( a ) O número de Nusselt médio nas superfícies,  N u - = h - L / k .

( b ) Determine a taxa de calor total trocado por cada placa q w i .

Passo 1

( a ) O número de Nusselt médio nas superfícies,  N u - = h - L / k .

Para calcular o número de Nusselt médio nas superfícies, precisamos dos coeficientes convectivos médios, dados por:

h - = 1 L ∫ 0 L h x . d x

Assim, para a superfície 1:

h - 1 = 1 L ∫ 0 L 10 x - 0,3 . d x = 10 L . x 0,7 0,7 0 L

h - 1 = 10 . L - 0,3 0,7 = 10 × 5 - 0,3 0,7

h - 1 = 8,815   W / m 2 K

Para a superfície 2:

h - 2 = 1 L ∫ 0 L 5 x - 0,5 . d x = 5 L . x 0,5 0,5 0 L

h - 2 = 10 . L - 0,5 = 10 × 5 - 0,5

h - 2 = 4,472   W / m 2 K

Passo 2

Os números de Nusselt médio nas superfícies serão:

N u - = h - L k

Onde k é a condutividade térmica do ar à temperatura de filme, dada por:

T f = T ∞ + T s 2 = 20 + 90 2 → T f = 55 ° C = 328   K

A essa temperatura, de acordo com a tabela A.4 do Incropera, k = 0,0284   W / m K .

Logo:

N u - 1 = h - 1 L k = 8,815 × 5 0,0284

N u - 2 = h - 2 L k = 4,472 × 5 0,0284

Passo 3

( b ) Determine a taxa de calor total trocado por cada placa q w i .

A taxa de calor será dada por:

q = h - . A . T s - T ∞ = h - . L . W . T s - T ∞

Substituindo os valores:

q 1 = 8,815 × 5 × 1 × 90 - 20

q 2 = 4,472 × 5 × 1 × 90 - 20

Resposta

a N u - 1 = 1552 ; N u - 2 = 737

b q 1 = 3085,85   W ; q 2 = 1565,2   W

Exercício Resolvido #8

Uma placa plana quadrada de 10   m de lado tem uma de suas faces imersa em um meio com ar a 298 K que escoa paralelamente a placa com uma velocidade de 10   m / s . A outra face está exposta a uma chama. Essa chama está a 1100   K e um coeficiente de película de 100   W / ( m 2 . ° C ) pode representar a transferência de calor homogênea na área dessa face.

A placa é feita de aço inoxidável 304, as propriedades do aço podem ser consideradas constantes e iguais a seus valores a 600 K e essa placa possui uma espessura de 5   c m .

Considerando que o sistema está em estado estacionário e que a radiação térmica pode ser desprezada. E sabendo que as propriedades termofísicas do ar podem ser obtidas pela tabela anexa do livro de referência e que esse se comporta como gás ideal.

Determine a temperatura na superfície de cada face da placa e a taxa de transferência de calor associada ao sistema.

Passo 1

A estratégia aqui é a seguinte: ao invés de começar calculando as temperaturas pra depois calcular a taxa de transferência de calor, vamos fazer o contrário.

Para isso, vamos analisar o problema como o seguinte circuito térmico:

Onde os índices a , p e c correspondem ao ar, à placa e à chama, respectivamente, e T 1 e T 2 representam as temperaturas das faces da placa.

Nesse caso, a taxa de transferência de calor será:

q = T ∞ , c - T ∞ , a R t

Onde a resistência térmica equivalente é dada por:

R t = 1 h a - . A + L p k p . A + 1 h c - . A

De acordo com a tabela A.1 do Incropera, para o aço inoxidável 304 a 600   K , a condutividade térmica será:

k p = 19,8   W / ( m . ° C )

Repare que, da equação resistência térmica equivalente, o único valor que não conhecemos é o coeficiente convectivo entre a placa e o ar. Então vamos atrás dele.

Passo 2

Esse se trata de um problema de convecção externa. Assim, as propriedades do ar deveriam ser dadas à temperatura de filme, dada por:

T f = T 1 + T ∞ , a 2

Mas como não temos T 1 , vamos utilizar aqui a temperatura de 600   K , que o problema nos deu para calcular as propriedades do aço.

Assim:

T f = 298 + 600 2 → T f = 449   K

Assim, utilizaremos os dados tabelados para 450   K . De acordo com a tabela A.4 do Incropera, para o ar a esta temperatura:

k f = 0,0373   W / ( m . K )

υ = 32,39 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,686

Passo 3

O número de Reynolds, será:

R e L = u ∞ . L υ = 10 × 10 32,39 × 10 - 6 → R e L = 3,087 × 10 6

Opa! Como estamos interessados em calcular o coeficiente convectivo médio, vamos usar a correlação do número de Nusselt para a região de transição (considerando R e x , c = 5 × 10 5 ), dada por: N u - L = 0,037 . R e L 4 / 5 - 871 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u - L = 0,037 × 3,087 × 10 6 4 / 5 - 871 × 0,686 1 / 3

N u - L = 4 304,9

Assim, o coeficiente convectivo entre a placa e o ar será:

h a - = N u - L . k a L = 4 304,9 × 0,0373 10 → h a = 1 6,06   W / ( m 2 . ° C )

Passo 4

A resistência térmica equivalente do circuito será:

R t = 1 h a - . A + L p k p . A + 1 h c - . A

R t = 1 1 6 , 0 6 × 10 2 + 0,05 19,8 × 10 2 + 1 100 × 10 2

R t = 7 , 4 5 × 10 - 4   W / ° C

Passo 5

A taxa de transferência de calor será:

q = T ∞ , c - T ∞ , a R t = 1100 - 298 7 , 4 5 × 10 - 4

q = 1 , 08 × 10 6   W

q = 1 , 08   M W

Passo 6

A temperatura na parede em contato com o ar será:

q = h a - . A . T 1 - T ∞ , a → T 1 = T ∞ , a + q h a - . A

Substituindo os valores:

T 1 = 298 + 1 , 08 × 10 6 16,06 × 10 2

T 1 = 9 70,5   K

Passo 7

A temperatura na parede em contato com a chama será:

q = h c - . A . T ∞ , c - T 2

T 2 = T ∞ , c - q h c - . A

Substituindo os valores:

T 2 = 1100 - 1 , 08 × 10 6 100 × 10 2

T 2 = 9 92   K

Resposta

q = 1,0 8   M W

T 1 = 9 70,5   K

T 2 = 9 92   K

Exercício Resolvido #9

Uma placa plana de 1   m m de espessura feita de chumbo (com propriedades constantes e dadas pelo valor dessas a 300 K ) está com uma de suas faces sob uma chama que fornece a ela 10000   W / m 2 . A placa é quadrada com 1   m de lado. Pela outra face, uma corrente de ar a 300 K escoa paralelamente a 200   m / s . O sistema está a 300   K .

Se for possível, em quanto tempo a temperatura vai atingir 500   K ? Se não for possível atingir 500   K , qual é a temperatura máxima da placa?

Assuma modelo de parâmetros concentrados para resolver o problema.

As propriedades termofísicas do ar são dadas na tabela.

Passo 1

Assumindo o modelo de parâmetros concentrados, consideramos que a temperatura no interior da placa é uniforme.

Fazendo o balando de energia, temos que:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i + E ˙ g e r a = E ˙ a c u m u l a

Como o corpo não gera calor por si só, a gente fica com:

E ˙ e n t r a - E ˙ s a i = E ˙ a c u m u l a

Onde o calor entra por conta do fluxo térmico da chama, e o calor sai por conta da convecção entre a placa e o ar. Dessa forma:

q ' ' . A - h . A . T t - T ∞ = ρ . V . c p . d T ( t ) d t

Resolvendo a equação acima, teremos:

q ' ' . A - h . A . θ t = ρ . V . c p . d θ ( t ) d t

Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida pelo método do fator integrante.

ρ . V . c p . d θ ( t ) d t + h . A . θ t = q ' ' . A

d θ ( t ) d t + h . A ρ . V . c p . θ t = q ' ' . A ρ . V . c p

O fator integrante é dado por:

I = exp ⁡ ∫ h . A ρ . V . c p d t

Pra simplificar a equação, vou chamar todo o termo constante dentro da integral de γ . Dessa forma:

I = exp ⁡ ∫ γ d t = exp ⁡ γ ∫ d t = exp ⁡ γ . t

Assim, a nossa equação diferencial terá a seguinte cara:

d θ t d t . exp ⁡ γ . t + h . A ρ . V . c p . θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t

d d t θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t

θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . ∫ 0 t exp ⁡ γ . t . d t

θ t . exp ⁡ γ . t = q ' ' . A ρ . V . c p . exp ⁡ γ . t γ + C

Onde C é uma constante qualquer. Reorganizando a equação e substituindo a expressão de γ :

θ t = q ' ' . A ρ . V . c p . 1 γ + C . exp ⁡ - γ . t

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Vamos determinar essa constante mais à frente usando a condição inicial do problema, quando formos substituir os valores.

Pra seguir em frente, precisamos calcular o coeficiente convectivo.

Passo 2

Antes de calcular o coeficiente convectivo, precisamos das propriedades do ar. Como a temperatura da placa irá variar entre 300   K e 500   K , vamos usar a média dessas temperaturas pra calcular a temperatura de filme. Assim:

T f = T s + T ∞ 2 = 400 + 300 2 → T f = 350   K

Assim, de acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r = 0,7

k a r = 0,03   W / ( m . K )

υ = 20,92 × 10 - 6   m 2 / s

Para o chumbo, considerando a temperatura de 300   K , teremos:

ρ = 11340   k g / m 3

c p = 129   J / ( k g . K )

Passo 3

Esse é um problema de convecção sobre uma placa plana. Assim, o número de Reynolds será:

R e L = u ∞ L υ = 200 × 1 20,92 × 10 - 6 = 9,56 × 10 6 > R e x , c = 5 × 10 5

Logo, como temos escoamento turbulento, a correlação mais adequada para o número de Nusselt será:

N u - L = 0,037 . R e 4 / 5 . P r 1 / 3

N u - L = 0,037 × 9,56 × 10 6 4 / 5 × 0,7 1 / 3

N u - L = 12616

O coeficiente convectivo será:

h - = N u - L . k L = 12616 × 0,03 1 → h - = 378,5   W / ( m 2 . K )

Passo 4

Voltando à expressão que encontramos no Passo 1:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

Aplicando a condição inicial de que, para t = 0 , T 0 = 300   K , teremos:

T 0 - T ∞ = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . 0 ρ . V . c p

T 0 - T ∞ = q ' ' h + C

Substituindo os valores:

300 - 300 = 10000 378,5 + C

C = - 26,42

Passo 5

Como queremos calcular o tempo necessário para que a placa atinja 500   K , vamos reorganizar a equação:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

t = - ρ . V . c p h . A . ln ⁡ T t - T ∞ - q ' ' / h C

Substituindo os valores:

t = - 11340 × 1 2 × 0,001 × 123 378,5 × 1 2 × ln ⁡ 500 - 300 - 26,42 - 26,42

O termo no interior do logaritmo será negativo. Como isso não pode ocorrer, significa que a temperatura da placa nunca chegará a 500   K .

Passo 6

A temperatura máxima da placa será dada para t → ∞ . Assim:

θ t = q ' ' h + C . exp ⁡ - h . A . t ρ . V . c p

lim t → ∞ ⁡ θ t = q ' ' h

T m á x - T ∞ = q ' ' h

T m á x = T ∞ + q ' ' h = 300 + 10000 378,5

Resposta

A temperatura da placa nunca chegará a 500   K .

T m á x = 326,42   K

Exercício Resolvido #10

A superfície de um coletor solar pode ser considerada como uma placa plana, com dimensões de 4 m × 4 m . A temperatura desta superfície é praticamente uniforme e de 40 ° C .

Ar a 20 ° C escoa sobre a placa ao longo de seu comprimento, com velocidade de 20   k m / h . Calcule:

i Coeficiente médio de transferência de calor sobre a placa;

( i i ) Coeficiente local de transferência de calor em x = 4 m ;

i i i Fluxo de calor local em x = 4 m ;

i v Taxa de calor trocado entre a placa e o ar.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, precisamos das propriedades do ar. Usando a temperatura de filme como referência, temos que:

T f = T s + T ∞ 2 = 40 + 20 2 → T f = 30 ° C = 303   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos que:

k = 0,0263   W / ( m . K )

υ = 15,89 × 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,707

Passo 2

i Coeficiente médio de transferência de calor sobre a placa;

Agora que já temos as propriedades do fluido, podemos calcular o número de Reynolds:

R e L = u ∞ L υ

R e L = 20 / 3,6 × 4 15,89 × 10 - 6 → R e L = 1,4 × 10 6 > 5 × 10 5

O regime é turbulento. Supondo escoamento turbulento em toda a placa, o número de Nusselt médio será:

N u - L = 0,037 . R e L 4 / 5 . P r 1 / 3 = 0,037 × 1,4 × 10 6 4 / 5 × 0,707 1 / 3

N u - L = 2722

Finalmente, o coeficiente convectivo médio será:

h - = N u - L . k L = 2722 × 0,0263 4

Passo 3

( i i ) Coeficiente local de transferência de calor em x = 4 m ;

O número de Nusselt local é dado por:

N u L = 0,0296 . R e L 4 / 5 . P r 1 / 3 = 0,0296 × 1,4 × 10 6 4 / 5 × 0,707 1 / 3

N u L = 2177 , 6

Assim, o coeficiente convectivo será:

h = N u L . k L = 2177 , 6 × 0,0263 4

Passo 4

i i i Fluxo de calor local em x = 4 m ;

O fluxo de calor será dado por:

q ' ' = h . T s - T ∞ = 14,32 × 40 - 20

Passo 5

i v Taxa de calor trocado entre a placa e o ar.

Nesse caso, como extamos interessados na taxa de calor, vamos usar o coeficiente convectivo médio.

q = h - . A . T s - T ∞ = 17,9 × 4 2 × 40 - 20

Resposta

i h - = 17,9   W / ( m 2 . ° C )

( i i ) h = 14,32   W / ( m 2 . ° C )

i i i q ' ' = 286,4   W / m 2

i v q = 5728   W

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