Escoamento em Placa Plana

Teoria Completa

Introdução

Agora que já estamos voando em convecção, estamos prontos pra jogar com os grandes!

Como o próprio título adiantou, estamos preocupados aqui somente com o escoamento em placa plana.

O que queremos aqui é entender como determinar o coeficiente convectivo pra diferentes situações! Basicamente, vamos dividir esse conteúdo em situações onde consideramos a temperatura da placa constante, e onde consideramos o fluxo térmico constante. Show?

Antes de seguirmos em frente, uma coisa muito importante!!! Nós vamos ver aqui uma série de correlações, as equações têm uns números bem esquisitos, mas a boa notícia é que você não precisa decorar as equações!

Vou colocar todas elas aqui mas, se precisar delas durante uma prova, o seu livro (Ozisik, Incropera, Çengel, etc) com certeza tem essas correlações. O que precisamos saber é como as escolhes e aplicá-las. De boa?!

As correlações vão nos dar o número de Nusselt N u e, a partir desse cara, a gente calcula o coeficiente convectivo h .

Relaxa, no final eu vou lançar um passo-a-passo diferenciado pra você!

Então partiu!

Escoamento sobre uma Placa Isotérmica

Esse é o caso que vimos até esse momento, onde consideramos que toda a placa tem uma temperatura constante. Então, a ideia é essa:

Para esse caso, quando precisarmos pegar os dados do fluido na tabela, vamos utilizar a temperatura de filme T f , dada por:

Pra facilitar a nossa vida, eu montei essa tabelinha para a gente!

Onde P e x é o número de Peclet, definido por P e x = R e x . P r .

No regime laminar, os números de Nusselt local e médio estão relacionados da seguinte forma:

“Opa! Mas o intervalo do número de Reynolds é o mesmo para a região de transição e o Escoamento Turbulento! Qual deles eu uso?!”

Cara! Muito boa a sua pergunta! Então, se estivermos interessados em calcular o coeficiente pontual, vamos utilizar a equação do escoamento turbulento, e se quisermos calcular o coeficiente médio h - , usamos a equação para a região de transição. Beleza?

Ainda sobre a região de transição, se considerarmos o número de Reynolds crítico na equação para o número de Nusselt médio. Dessa forma, teremos que:

Caso o escoamento seja turbulento em toda a placa (ou quando temos uma pequena parte da placa com escoamento laminar), podemos calcular o número de Nusselt médio através da seguinte expressão:

Viu como as equações são esquisitas?

Se você ficar muito tempo olhando pra elas, é capaz dos seus olhos começarem a suar. Mas como eu disse antes, basta calcular o número de Reynolds, ver o valor do número de Prandtl e escolher a equação mais adequada pra resolver a nossa vida. :)

Escoamento sobre uma Placa com Fluxo Térmico Preescrito

Na real, esse não é um caso que aparece tanto mas, não estamos muito na vibe de dar margem pro azar, certo?

A ideia agora é basicamente essa:

Então vou lançar aqui uma tabela muito parecida com o que vimos antes, ok?

Como temos o fluxo de calor q s ' ' , podemos calcular a taxa de transferência de calor q sem esquentar muito a cabeça:

q = q s ' ' . A s

Dessa forma, acaba não sendo necessário calcular o coeficiente convectivo médio h - . No entanto, nós podemos calcular a temperatura superficial média T s - T ∞ - , dada por:

T s - T ∞ - = q s ' ' . L k . N u - L

Onde N u - L = 0680 . R e L 1 / 2 . P r 1 / 3 .

Então, fique esperto pra ver se o problema vai ter dar uma placa com temperatura constante, ou com fluxo térmico constante, combinado?

Passo-a-passo diferenciado

“Peguei um problema de convecção externa, o que eu faço?!”

Como o objetivo final quando trabalhamos com convecção é calcular justamente o coeficiente convectivo h , vamos fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: No caso de uma placa isotérmica, essa temperatura é a temperatura de filme. Utilize essa temperatura pra pegar os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: Utilize o número de Reynolds pra determinar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h x é usado para determinar o fluxo q x ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo h .
  6. Seja feliz! :)

Vamos aplicar isso na prática?! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma placa plana, com largura de 1   m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme T s = 150 ° C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10   m m e comprimento b = 50   m m , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior.

Ar atmosférico a 25 ° C escoa sobrea a superfície da placa a uma velocidade de 30   m / s . As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5,2   W / ( m . K ) , c p = 320   J / ( k g . K ) e ρ = 2300   k g / m 3 .

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

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Passo 1

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

Vamos nessa! Queremos encontrar a geração de energia , q ˙   W / m 3 , para isso considerando o balanço de energia, temos:

q ' ' c o n v = q ' ' g e r a ç ã o

Sabendo que:

q ' ' c o n v = h - T s - T ∞ e q ' ' g e r a ç ã o = q ˙ . a

Substituindo, as expressões a cima, podemos calcular q ˙ :

q ˙ = h - T s - T ∞ a

Passo 2

Agora, que sabemos como calcular q ˙ precisamos achar o coeficiente médio de convecção ( h - ):

O problema nos deu as propriedades do módulo, mas não nos deu as propriedades do ar. Assim, usando a temperatura de filme como referência, temos que:

T f = T s + T ∞ 2 = 150 + 25 2 → T f = 87,5 ° C = 360,5   K

Sabendo a temperatura de filme, podemos achar as propriedades do ar.

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos que:

k f = 0,0308   W / ( m . K )

υ = 22,07 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,698

Passo 3

Com as propriedades dos fluidos em mãos, podemos calcular o número de Reynolds:

R e L = u ∞ L υ

Como estamos interessados no módulo a 700   m m da aresta frontal, L = 700   m m = 0,7   m . Dessa forma:

R e L = 30.0,7 22,07 . 10 - 6 → R e L = 9,515 × 10 5

Opa! R e L > 5 × 10 5 . O escoamento não é laminar nessa região!

Passo 4

A questão agora é a seguinte! Como estamos interessados em calcular a taxa de transferência de calor do módulo localizado a 700   m m da aresta frontal da placa, não é uma boa usarmos a expressão para o número de Nusselt médio, porque ele vai nos dar o coeficiente convectivo médio ao longo de todos os 700   m m .

Nesse caso, o coeficiente convectivo médio desse módulo que estamos interessados vai ser aproximadamente igual ao coeficiente convectivo local no centro desse módulo.

h - ≅ h x

Então, vamos utilizar o número de Nusselt local N u x no centro do módulo.

Já calculamos o número de Reynold para L = 0,7   m , mas agora estamos interessados em uma nova posição, no centro do módulo que tem comprimento b = 50   m m = 0,05   m .

Dessa forma, vamos calcular o novo número de Reynolds, agora para L ' = L + b / 2 :

R e = V L ' υ = 30   . 0,7 + 0,05 2 22,07 × 10 - 6 → R e = 9,855 . 10 5

Como sabemos que o escoamento é turbulento em toda placa, vamos usar a seguinte correlação:

N u x = 0,0296 . R e x 4 / 5 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u x = 0,0296 . 9,855 . 10 5 4 / 5 . 0,698 1 / 3

N u x = 1637

Passo 5

O coeficiente convectivo médio no módulo será, então:

h - ≅ h x = N u x . k f x

Substituindo os valores:

h - = 1637.0,0308 0,725 → h - = 69,5   W / ( m 2 . K )

Passo 6

Agora que achamos h - finalmente temos todas as variáveis necessárias pra calcular a geração de energia necessária ( q ˙ ) , que será:

q ˙ = h - T s - T ∞ a = 69,5 . 150 - 25 0,01

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

Passo 7

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

O fluxo de energia gerada no módulo deve ser igual ao fluxo de calor por condução no mesmo.

Partindo do princípio que a energia é gerada no centro do módulo, a temperatura será máxima neste mesmo ponto, a uma distância a / 2 da superfície do módulo. Logo:

k . T m á x - T s a / 2 = q ˙ . a

Reorganizando a equação:

T m á x = T s + q ˙ a 2 2 k

Substituindo os valores:

T m á x = 150 + 8,7 . 10 5 . 0,01 2 2.5,2

T m á x = 158,4 ° C

Resposta

a

q ˙ = 8,7.10 5 W / m 3

b

T m á x = 158,4 ° C

Exercício Resolvido #2

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Seja uma placa plana sujeita a um escoamento paralelo (superior e inferior) caracterizado por u ∞ = 5   m / s , T ∞ = 20 ° C .

a Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 2   m e largura w = 2   m , para o escoamento de ar e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

b Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 0,1   m e largura w = 0,1   m , para o escoamento de água e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Logo de cara, tanto para a letra a , quanto a para a letra b , vamos determinar as propriedades que vamos usar ao longo do problema, beleza?

Pra diferenciais, vou chamar os resultados referentes à temperatura superficial de 50 ° C de 1, e para a temperatura superficiais de 80 ° C , de 2.

Letra a – Ar

Temperatura de filme:

T f 1 = 50 + 20 2 → T f 1 = 35 ° C = 308   K

T f 2 = 80 + 20 2 → T f 2 = 50 ° C = 323   K

De acordo com a tabela A.4 do Incropera:

P r 1 = 0,706 P r 2 = 0,704 k 1 = 26,9 . 10 - 3   W / ( m . K ) k 2 = 28,0 . 10 - 3   W / ( m . K ) υ 1 = 1,669 . 10 - 5   m 2 / s υ 2 = 1,82 . 10 - 5   m 2 / s

Letra b – Água

Temperatura de filme:

T f 1 = 35 ° C = 308   K

T f 2 = 50 ° C = 323   K

De acordo com a tabela A.6 do Incropera:

P r 1 = 4,85 P r 2 = 3,56 k 1 = 0,625   W / ( m . K ) k 2 = 0,643   W / ( m . K ) υ 1 = 7,291 . 10 - 7   m 2 / s υ 2 = 5,543 . 10 - 7   m 2 / s

Show! Agora podemos seguir em frente!

Passo 2

a Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 2   m e largura w = 2   m , para o escoamento de ar e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

Precisamos do número de Reynolds pra escolher a correlação adequada:

R e L 1 = u ∞ L υ 1 = 5.2 1,669 . 10 - 5 = 5,99 . 10 5

R e L 2 = u ∞ L υ 2 = 5.2 1,82 . 10 - 5 = 5,49 . 10 5

De acordo com os números de Reynolds, não estamos no regime laminar.

Passo 3

Como estamos interessados em calcular os coeficientes convectivos médios, vamos utilizar a correlação para a região de transição, considerando R e x , c = 5 . 10 5 . Logo:

N u - 1 = 0,037 . R e L 1 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 1 = 0,037 . 5,99 . 10 5 4 / 5 - 871 . 0,706 1 / 3       →       N u - 1 = 604

N u - 2 = 0,037 . R e L 2 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 2 = 0,037 . 5,49 . 10 5 4 / 5 - 871 . 0,704 1 / 3     →     N u - 2 = 511

Passo 4

Os coeficientes convectivos médios serão:

h - 1 = N u - 1 . k 1 L = 604.26,9 . 10 - 3 2

h - 2 = N u - 2 . k 2 L = 511.28,0 . 10 - 3 2

Passo 5

Como há troca de calor nas superfícies superior e inferior, a taxa total de transferência de calor será:

q 1 = h - 1 . 2 A s . T s - T ∞ = 8,13.2 . 2 2 . 50 - 20

q 2 = h - 2 . 2 A s . T s - T ∞ = 7,16.2 . 2 2 . 80 - 20

Passo 6

b Determine os coeficientes de transferência de calor por convecção médios e as taxas de transferência de calor por convecção associadas a uma placa plana com um comprimento L = 0,1   m e largura w = 0,1   m , para o escoamento de água e temperaturas superficiais T s = 50 ° C e 80 ° C .

Começando pelo número de Reynolds:

R e L 1 = u ∞ L υ 1 = 5.0,1 7,291 . 10 - 7 = 6,86 . 10 5

R e L 2 = u ∞ L υ 2 = 5.0,1 5,543 . 10 - 7 = 9,02 . 10 5

De acordo com os números de Reynolds, não estamos no regime laminar.

Passo 7

Como estamos interessados em calcular os coeficientes convectivos médios, vamos utilizar a correlação para a região de transição, considerando R e x , c = 5 . 10 5 . Logo:

N u - 1 = 0,037 . R e L 1 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 1 = 0,037 . 6,86 . 10 5 4 / 5 - 871 . 4,85 1 / 3       →       N u - 1 = 1450

N u - 2 = 0,037 . R e L 2 4 / 5 - 871 P r 1 / 3

N u - 2 = 0,037 . 9,02 . 10 5 4 / 5 - 871 . 3,56 1 / 3       →       N u - 2 = 1952

Passo 8

Os coeficientes convectivos médios serão:

h - 1 = N u - 1 . k 1 L = 1450.0,625 0,1

h - 2 = N u - 2 . k 2 L = 1952.0,643 0,1

Passo 9

Como há troca de calor nas superfícies superior e inferior, a taxa total de transferência de calor será:

q 1 = h - 1 . 2 A s . T s - T ∞ = 9062,5.2 . 0,1 2 . 50 - 20

q 2 = h - 2 . 2 A s . T s - T ∞ = 12550.2 . 0,1 2 . 80 - 20

Resposta

a

b

Exercício Resolvido #3

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

(Adaptada) Considere uma aleta retangular que é usada para resfriar o motor de uma motocicleta. A aleta possui 0,15   m de comprimento e está a uma temperatura de 250 ° C , quando a motocicleta desloca-se a uma velocidade de 80   k m / h