Escoamento em Placa Plana

Teoria Completa

Introdução

Agora que já estamos voando em convecção, estamos prontos pra jogar com os grandes!

Como o próprio título adiantou, estamos preocupados aqui somente com o escoamento em placa plana.

O que queremos aqui é entender como determinar o coeficiente convectivo pra diferentes situações! Basicamente, vamos dividir esse conteúdo em situações onde consideramos a temperatura da placa constante, e onde consideramos o fluxo térmico constante. Show?

Antes de seguirmos em frente, uma coisa muito importante!!! Nós vamos ver aqui uma série de correlações, as equações têm uns números bem esquisitos, mas a boa notícia é que você não precisa decorar as equações!

Vou colocar todas elas aqui mas, se precisar delas durante uma prova, o seu livro (Ozisik, Incropera, Çengel, etc) com certeza tem essas correlações. O que precisamos saber é como as escolhes e aplicá-las. De boa?!

As correlações vão nos dar o número de Nusselt N u e, a partir desse cara, a gente calcula o coeficiente convectivo h .

Relaxa, no final eu vou lançar um passo-a-passo diferenciado pra você!

Então partiu!

Escoamento sobre uma Placa Isotérmica

Esse é o caso que vimos até esse momento, onde consideramos que toda a placa tem uma temperatura constante. Então, a ideia é essa:

Para esse caso, quando precisarmos pegar os dados do fluido na tabela, vamos utilizar a temperatura de filme T f , dada por:

Pra facilitar a nossa vida, eu montei essa tabelinha para a gente!

Onde P e x é o número de Peclet, definido por P e x = R e x . P r .

No regime laminar, os números de Nusselt local e médio estão relacionados da seguinte forma:

“Opa! Mas o intervalo do número de Reynolds é o mesmo para a região de transição e o Escoamento Turbulento! Qual deles eu uso?!”

Cara! Muito boa a sua pergunta! Então, se estivermos interessados em calcular o coeficiente pontual, vamos utilizar a equação do escoamento turbulento, e se quisermos calcular o coeficiente médio h - , usamos a equação para a região de transição. Beleza?

Ainda sobre a região de transição, se considerarmos o número de Reynolds crítico na equação para o número de Nusselt médio. Dessa forma, teremos que:

Caso o escoamento seja turbulento em toda a placa (ou quando temos uma pequena parte da placa com escoamento laminar), podemos calcular o número de Nusselt médio através da seguinte expressão:

Viu como as equações são esquisitas?

Se você ficar muito tempo olhando pra elas, é capaz dos seus olhos começarem a suar. Mas como eu disse antes, basta calcular o número de Reynolds, ver o valor do número de Prandtl e escolher a equação mais adequada pra resolver a nossa vida. :)

Escoamento sobre uma Placa com Fluxo Térmico Preescrito

Na real, esse não é um caso que aparece tanto mas, não estamos muito na vibe de dar margem pro azar, certo?

A ideia agora é basicamente essa:

Então vou lançar aqui uma tabela muito parecida com o que vimos antes, ok?

Como temos o fluxo de calor q s ' ' , podemos calcular a taxa de transferência de calor q sem esquentar muito a cabeça:

q = q s ' ' . A s

Dessa forma, acaba não sendo necessário calcular o coeficiente convectivo médio h - . No entanto, nós podemos calcular a temperatura superficial média T s - T ∞ - , dada por:

T s - T ∞ - = q s ' ' . L k . N u - L

Onde N u - L = 0680 . R e L 1 / 2 . P r 1 / 3 .

Então, fique esperto pra ver se o problema vai ter dar uma placa com temperatura constante, ou com fluxo térmico constante, combinado?

Passo-a-passo diferenciado

“Peguei um problema de convecção externa, o que eu faço?!”

Como o objetivo final quando trabalhamos com convecção é calcular justamente o coeficiente convectivo h , vamos fazer o seguinte:

  1. Identifique a geometria do escoamento: Estamos trabalhando com um escoamento sobre uma placa plana, esfera ou cilindro?
  2. Identifique a temperatura de referência: No caso de uma placa isotérmica, essa temperatura é a temperatura de filme. Utilize essa temperatura pra pegar os dados sobre o fluido, incluindo o número de Prandtl.
  3. Calcule o número de Reynolds: Utilize o número de Reynolds pra determinar se o escoamento é laminar ou turbulento.
  4. Escolha a correlação adequada a partir dos valores de R e e P r . Lembrando que:
    1. O coeficiente local h x é usado para determinar o fluxo q x ' ' em um ponto específico;
    2. O coeficiente médio h - é usado para determinar a taxa de transferência de calor q em toda a superfície.
  5. Calcule o coeficiente convectivo h .
  6. Seja feliz! :)

Vamos aplicar isso na prática?! ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

INCROPERA, F. P, DEWITT, D. P. Fundamentos de Transferência de Calor e Massa. 6ed.

Uma placa plana, com largura de 1   m , é mantida a uma temperatura superficial uniforme T s = 150 ° C pelo uso de módulos retangulares geradores de calor, com espessura a = 10   m m e comprimento b = 50   m m , que são controlados independentemente. Cada módulo encontra-se isolado de seus vizinhos, bem como em sua superfície inferior.

Ar atmosférico a 25 ° C escoa sobrea a superfície da placa a uma velocidade de 30   m / s . As propriedades termofísicas dos módulos são k = 5,2   W / ( m . K ) , c p = 320   J / ( k g . K ) e ρ = 2300   k g / m 3 .

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

b Determine a temperatura máxima T m á x neste módulo de geração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Determine a geração de energia necessária, q ˙   W / m 3 , em um módulo posicionado a uma distância de 700   m m da aresta frontal.

Vamos nessa! Queremos encontrar a geração de energia , q ˙   W / m 3 , para isso considerando o balanço de energia, temos:

q ' ' c o n v = q ' ' g e r a ç ã o

Sabendo que:

q ' ' c o n v = h - T s - T ∞ e q ' ' g e r a ç ã o = q ˙ . a

Substituindo, as expressões a cima, podemos calcular q ˙ :

q ˙ = h - T s - T ∞ a

Passo 2

Agora, que sabemos como calcular q ˙ precisamos achar o coeficiente médio de convecção ( h - ):

O problema nos deu as propriedades do módulo, mas não nos deu as propriedades do ar. Assim, usando a temperatura de filme como referência, temos que:

T f = T s + T ∞ 2 = 150 + 25 2 → T f = 87,5 ° C = 360,5   K

Sabendo a temperatura de filme, podemos achar as propriedades do ar.

De acordo com a tabela A.4 do Incropera, temos que:

k f = 0,0308   W / ( m . K )

υ = 22,07 . 10 - 6   m 2 / s

P r = 0,698

Passo 3

Com as propriedades dos fluidos em mãos, podemos calcular o número de Reynolds:

R e L = u ∞ L υ

Como estamos interessados no módulo a 700   m m da aresta frontal, L = 700   m m = 0,7   m . Dessa forma:

R e L = 30.0,7 22,07 . 10 - 6 → R e L = 9,515 × 10 5

Opa! R e L > 5 × 10 5 . O escoamento não é laminar nessa região!

Passo 4

A questão agora é a seguinte! Como estamos interessados em calcular a taxa de transferência de calor do módulo localizado a 700   m m da aresta frontal da placa, não é uma boa usarmos a expressão para o número de Nusselt médio, porque ele vai nos dar o coeficiente convectivo médio ao longo de todos os 700   m m .

Nesse caso, o coeficiente convectivo médio desse módulo que estamos interessados vai ser aproximadamente igual ao coeficiente convectivo local no centro desse módulo.

h - ≅ h x

Então, vamos utilizar o número de Nusselt local N u x no centro do módulo.

Já calculamos o número de Reynold para L = 0,7   m , mas agora estamos interessados em uma nova posição, no centro do módulo que tem comprimento b = 50   m m = 0,05   m .

Dessa forma, vamos calcular o novo número de Reynolds, agora para L ' = L + b / 2 :

R e = V L ' υ = 30   . 0,7 + 0,05 2 22,07 × 10 - 6 → R e = 9,855 . 10 5

Como sabemos que o escoamento é turbulento em toda placa, vamos usar a seguinte correlação:

N u x = 0,0296 . R e x 4 / 5 . P r 1 / 3

Substituindo os valores:

N u x = 0,0296 . 9,855 . 10 5 4 / 5 . 0,698 1 / 3