Estado Pseudo-Estacionário

Ver Todos os Exercícios

Teoria

Nesse tópico a gente vai estudar um caso particular de transferência de massa em que tá rolando estado estacionário e estado transiente ao mesmo tempo.

Calma, jovem. Esse aqui não é muito diferente do que a gente viu antes.

E como é esse tal estado pseudo-estacionário?

Vamos pegar aquele exemplo do tubo com um líquido, onde:

  • O líquido contem A
  • Tem uma corrente externa de gás de B que não se mistura em A
  • O transporte de massa é unidimensional no comprimento do tubo
  • Não tem reação química acontecendo.

Nesse caso, o líquido A está evaporando naturalmente. O nível de líquido dentro do tubo vai diminuindo beeem devagarzinho. Então assim, depois de um pequeno período de tempo é como se nada tivesse mudado (estado estacionário), mas depois de um longo período de tempo, a gente vai ter uma queda na altura da interface entre o líquido e o gás (estado transiente), beleza?

Vamos olhar pra esse desenho aqui pra ajudar!

Bom, a gente já viu num modelo bem parecido com esse que:

N A , z = c D A B z ( t ) y A 1 - y A 2 y B , l n

Onde z ( t ) = z 2 - z 1

E isso serve pra gente descrever o perfil de concentração ao longo do tubo. Então assim, se a gente parasse no tempo e quisesse saber como que estão distribuídas as concentrações ali dentro do líquido em função da altura, é usando essa fórmula ai em cima que a gente acha.

Maaaas, como é que a gente faz pra descobrir quanto tempo que leva pra esse tubo diminuir alguma coisa do nível então?

Fazendo um balanço no tubo, considerando que o fluxo também está relacionado com a quantidade evaporada de A, a gente obtem a seguinte expressão:

N A , z = C A d z d t

Juntando as duas expressões:

C A d z d t = c D A B ( z 2 - z 1 ) y A 1 - y A 2 y B , l n

Agora separando e integrando em função do tempo:

∫ t = 0 t d t = C A y B , l n c D A B ( y A 1 - y A 2 ) ∫ z 0 z t z   d z

Com as seguintes condições de contorno:

t = 0   → z A = z 0

t = t   → z = z t

Finalmente chegamos na seguinte expressão para o tempo:

t = C A y B , l n c D A B ( y A 1 - y A 2 ) z t 2 - z 0 2 2

Agora bora praticar com outros exemplos!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A célula de Arnold é um dispositivo que, de forma simples, permite a medição de coeficientes de difusão mássica. Na figura a seguir, é mostrado um esboço da célula.

  1. Determine a difusividade mássica de clorofórmio (A) no ar (B), sabendo que, em um experimento com uma célula de Arnold, em 10 horas ( 36000   s ), a distância entre a superfície do clorofórmio e do topo da célula passou de Z 0 = 7,40   c m ( t = 0 ) para Z 1 = 7,84   c m ( t = t 1 ). Considere que no topo da célula escoava ar puro, ou seja, y A ,   t = 0 , e que na superfície do clorofórmio as condições eram de saturação. A temperatura e a pressão mantiveram-se constantes e iguais a 298   K e 101,3   k P a , respectivamente. A pressão de vapor do clorofórmio nessa temperatura é igual a 26,6   k P a . Apresente o resultado da difusividade em m 2 / s utilizando o mesmo número de algarismos significativos empregados para representar a distância Z .
  2. Qual é a característica do processo que permite a adoção de regime pseudo-estacionário na sua modelagem?

Dados: ρ A = 1480   k g / m ³ , M A = 119   k g / k m o l , C = 0,0409   k m o l / m ³

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver essa questão juntinhos, show? Partiu!

Antes de olhar para todos os dados, vamos começar observando a imagem, beleza?

Temos a célula de Arnold, nela a gente vê um sistema onde o clorofórmio fica dentro de um recipiente aberto, exposto ao ar… Humm… Não temos uma reação química acontecendo, e o fluxo é unidimensional.

A figura também nos indica que primeiro temos uma quantidade de clorofórmio e depois de um certo tempo essa quantidade diminui, indicando uma evaporação, né? Opa! Tudo isso nos permite achar a difusividade pela equação do regime pseudo-estacionário, né? Vamos nessa!!

Agora sim, vamos anotar todos os nossos dados!

t = 36000   s Z 0 = 7,40   c m → 0,074   m Z 1 = 7,84   c m → 0,0784   m

y A ,   t = 0 T = 298   K P = 101,3   k P a

P A ,   s V a p = 26,6   k P a ρ A = 1480   k g / m ³ M A = 119   k g / k m o l

C = 0,0409   k m o l / m ³

Show de bola! Vamos para as continhas!

Passo 2

Bom, lembrando que a equação da difusividade em regime pseudo-estacionário é a seguinte:

D A ,   B = ρ A M A ⋅ 1 C ⋅ L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ t 1 ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Opa! Temos quase tudo, mas ainda tá faltando o y A ,   s , vamos achar ele assim:

y A ,   s = P A ,   s V a p P

Substituindo esses valores, que já foram dados pelo enunciado:

y A ,   s = 26,6 101,3

Ficamos então com:

y A ,   s = 0,263

Beleza! Agora vamos achar nossa difusividade! Substituindo nossos valores:

D A ,   B = 1480 119 ⋅ 1 0,0409 ⋅ L n 1 - 0 1 - 0,263 ⋅ 36000 ⋅ 0,0784 2 - 0,074 2 2

A difusividade será então:

D A ,   B = 9,28 ⋅ 10 - 6   m ² / s

Show!

Passo 3

Agora só falta a letra b, né?

Bom, praticamente respondemos ela no passo 1… haha

O enunciado tá perguntando pra gente qual é a característica desse processo que faz a gente adotar o regime pseudo-estacionário… Olha só, como a gente viu lá no passo 1, temos uma evaporação do clorofórmio que acontece bem devagarinho, e essa taxa de evaporação muito pequena é o que nos indica o regime pseudo-estacionário!

Prontinho! Arrasamos!

Resposta

  1. D A ,   B = 9,28 ⋅ 10 - 6   m ² / s
  2. A taxa de evaporação muito pequena, do clorofórmio no ar, nos indica o regime pseudo-estacionário.

Exercício Resolvido #2

Qual a diferença entre difusão em regime permanente e difusão pseudo-estacionária?

Passo 1

Questãozinha teórica só pra gente fixar a teoria, beleza?

Bom, quando temos uma difusão permanente não temos evaporação de uma das espécies, e no caso da pseudo-permanente ocorre evaporação, apesar de ser muito lenta.

Pensa assim, pseudo alguma coisa, quer dizer que é falso, entendeu? Então a difusão pseudo-permanente, nos “engana”, parece uma permanente só que não é, sabe porquê? Se a gente colocar água em um capilar e ficarmos olhando para ele por um tempo curto, vamos achar que não houve evaporação! Mas aí a gente esquece ela lá e vai dar um rolê demorado… Quando voltar, vamos observar que a quantidade de água diminuiu, então houve evaporação!

Pegou o bizu? Show de bola!

Resposta

Na difusão permanente não temos evaporação de uma das espécies, e no caso da pseudo-permanente ocorre evaporação, porém ela é muito lenta.

Exercício Resolvido #3

Um capilar está semipreenchido com 2,5   c m de etanol. Assume-se que o ar seco contido no interior do capilar esteja estagnado a 750   m m H g e 25 ° C . Determine a altura de capilar sabendo que houve um desnível do líquido de 0,5   c m no final de 5   h .

Dados: D A ,   B = 0,1338   c m ² / s , L n P A V a p = E - F T + G

Passo 1

Partiu resolver mais uma questão!

Esse enunciado quer que a gente descubra a altura do capilar ( Z ) e nos deu os seguintes dados:

Z 0 = Z - 2,5 Z 1 = Z - 3 P = 750   m m H g

T = 25 ° C → 298   K t = 5   h → 18000   s D A ,   B = 0,1338   c m ² / s

Além disso o enunciado da pra gente também uma forma de encontrar o P A V a p , usando a tabela que foi dada, vamos achar então:

L n P A V a p = E - F T + G

Substituindo os valores:

L n P A V a p = 19,9119 - 3803,98 298 + - 41,68

L n P A V a p = 5,0712

A pressão será então:

P A V a p = 159,36   m m H g

Passo 2

Olha só, pra achar essa altura a gente pode usar a equação do tempo em um regime pseudo-permanente, essa aqui olha:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Tá faltando alguns termos ainda, então vamos descobrir eles:

y A ,   s = P A V a p P

Substituindo os valores, temos:

y A ,   s = 159,36 750

Vamos ter então:

y A ,   s = 0,2125

E considerando que no topo está presente ar puro, então:

y A ,   t = 0

Agora vamos encontrar a concentração que também está faltando:

C = P R ⋅ T

Usando a constante dos gases como R = 62,3637   m m H g . L / K . m o l , e substituindo os valores, temos:

C = 750 62,3637 ⋅ 298

A concentração será:

C = 0,0404   m o l / L

Passando ele para as unidades corretas, vamos ter:

C = 0,0404   m o l L ⋅ 1   L 1000   c m ³

C = 40,4 ⋅ 10 - 6   m o l / c m ³

Show! Temos tudo que precisamos, partiu achar o Z !

Passo 3

Agora vamos voltar lá na equação do tempo e substituir nossos valores:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

18000 = 0,787 46,065 ⋅ 40,4 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,1338 ⋅ 1 L n 1 - 0 1 - 0,2125 ⋅ Z - 3 2 - Z - 2,5 2 2

Ajustando esse cara aí, vamos ficar com:

Z - 3 2 - Z - 2,5 2 2 = - 1,1015

Z - 3 2 - Z - 2,5 2 = - 2,203

Z ² - 6 Z + 9 - Z ² - 5 Z + 6,25 = - 2,203

Z ² - 6 Z + 9 - Z ² + 5 Z - 6,25 = - 2,203

- Z = - 2,203 - 2,75

Z = 4,953   c m

Conseguimos!!

Resposta

Z = 4,953   c m

Exercício Resolvido #4

Propõe-se o seguinte experimento: 4 capilares de 4 cm cada um são mantidos a 25°C e 1 atm, nos quais escoa pelo topo ar seco. Sabe-se que os capilares A, B, C e D contêm, respectivamente, 0,5 cm de benzeno, tolueno, metanol e etanol. Estabeleça uma ordem crescente de tempo, em horas, para o esvaziamento total dos capilares.

Passo 1

Essa questão aqui dá pra gente até pensar em fazer conta, mas no fundo não precisa não! Ela é pra vê se a gente tá ligado!

Bom, temos 4 capilares iguais e com a mesma quantidade de coisa dentro, mas são espécies diferentes, tipo assim, olha só:

As cores são só pra ilustrar que são composto diferentes, beleza?

Agora vamos dar uma olhadinha na equação que nos ajuda a achar o tempo, pra ver qual o fator nos compostos irão resultar em tempos maiores e menores, ok? Olha ela aqui:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Bom, a densidade e a massa molar deles será diferente, né? Mas o que fará grande diferença mesmo é a massa molar… Então se a gente pensar nela quem tiver a maior massa molar vai ter o menor tempo, certo?

Show! Então vamos anotar a massa molar de cada um:

M b e n z e n o = 78,11   g / m o l M t o l u e n o = 92,14   g / m o l

M m e t a n o l = 32,04   g / m o l M e t a n o l = 46,07   g / m o l

Como o tempo é inversamente proporcional a massa molar, vamos ter que:

t m e t a n o l < t e t a n o l < t b e n z e n o < t t o l u e n o

Arrasamos!

Resposta

t m e t a n o l < t e t a n o l < t b e n z e n o < t t o l u e n o

Exercício Resolvido #5

Um capilar de 30   c m de altura contém 2   c m de etanol. Calcule o tempo necessário para que o nível do álcool decresça em 0,02   c m , considerando que o capilar esteja preenchido por ar seco e estagnado a 1   a t m e 25 ° C . Suponha que o vapor de etanol seja totalmente arrastado no topo do capilar. Nessas condições, são conhecidos:

ρ A = 0,787   g / c m ³ ; P A V a p = 160,75   m m H g ; M A = 46,069   g / m o l ; A = Etanol ; B = Ar seco

Passo 1

Mais uma questãozinha pra fixar nosso conteúdo, beleza? Vamos nessa!

Nesse caso aqui a gente tem um capilar com 2   c m etanol e com 28   c m de ar seco, o etanol vai evaporando unidimensionalmente pelo capilar… A gente precisa achar o tempo para que o etanol reduz 0,02 cm de altura… Partiu!

Vamos começar anotando os nossos dados!

Z 0 = 28   c m Z 1 = 28,02   c m T = 25 ° C → 298,15   K

P = 1   a t m → 760   m m H g ρ A = 0,787   g / c m ³

P A V a p = 160,75   m m H g M A = 46,069   g / m o l

Passo 2

Bom, podemos identificar aqui como sendo um regime pseudo-estacionário, e a equação para encontrar o tempo de evaporação é a seguinte:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Ops! Tá faltando gente aí, né? Vamos achar eles! Começando pelo y A ,   s :

y A ,   s = P A ,   s V a p P

Substituindo os valores:

y A ,   s = 160,75 760

Ficamos então com:

y A ,   s = 0,2115

Agora vamos encontrar a concentração assim, olha só:

C = P R ⋅ T

Usando a constante dos gases, R = 82,05   a t m ⋅ c m ³ / g . m o l , e substituindo nossos dados:

C = 1 82,05 ⋅ 298,15

Teremos:

C = 40,88 ⋅ 10 - 6   g . m o l / c m ³

Para o valor da difusividade do etanol no ar, podemos conseguir pelas tabelas que ficam no apêndice do livro, encontraremos:

D A ,   B = 0,132   c m ² / s

Passo 3

Beleza! Agora vamos achar o que nosso enunciado quer! Substituindo nossos valores na equação do tempo, ficamos com:

t = 0,787 46,069 ⋅ 40,88 ⋅ 10 - 6 ⋅ 0,132 ⋅ 1 L n 1 - 0 1 - 0,2115 ⋅ 28,02 2 - 28 2 2

O tempo será então:

t = 7462,8   s

Ou seja, aproximadamente:

t ≈ 2   h o r a s

Uhul! Arrasamos!

Resposta

t ≈ 2   h o r a s

Exercício Resolvido #6

Através de uma abertura acidental de uma válvula, água foi espalhada no chão de uma planta industrial em uma área remota de difícil acesso. Estimar o tempo necessário para evaporar completamente a água nas vizinhanças de ar estagnado. A camada de água inicial é de 1,016   m m , (que pode ser assumida uniforme) a temperatura de 25 ° C . A pressão parcial de vapor da água nesta temperatura é 0,024   a t m . O ar está a 25 ° C e 1   a t m . A evaporação é assumida constante e ocorre por difusão molecular através do filme de gás de espessura de 5,08   m m . Dados: D A B = 2,41 ⋅ 10 - 5   c m ² / s ; ρ = 1000   k g / m ³ ; M á g u a = 18   g / m o l ; R = 82,05   c m ³ . a t m / g . m o l . K .

Passo 1

Fala aí! Vamos ver juntos o que essa questão precisa!

Bom, ela pede o tempo para a água evaporar completamente… Esse problema fala de um vazamento e a água foi derramada no chão, mas o enunciado nos permite considerar como um capilar tendo uma difusão pseudo-permanente, beleza?

Os dados do nosso problema são esses aqui:

Z 1 = 6,096   m m   → 0,6096   c m Z 0 = 5,08   m m → 0,508   c m

P = 1   a t m T = 25 ° C → 298   K ρ = 1000   k g / m ³ → 1   g / c m ³

D A B = 2,41 ⋅ 10 - 5   c m ² / s P A V a p = 0,024   a t m M á g u a = 18   g / m o l

R = 82,05   c m ³ . a t m / g . m o l . K

Passo 2

Assumindo como sendo um regime pseudo-estacionário a equação que vamos usar para encontrar o tempo de evaporação será essa aqui:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Mas ainda falta coisa aí! Vamos começar achando o y A ,   s :

y A ,   s = P A ,   s V a p P

Substituindo os valores:

y A ,   s = 0,024 1

Ficamos então com:

y A ,   s = 0,024

Agora vamos encontrar a concentração:

C = P R ⋅ T

Substituindo nossos dados:

C = 1 82,05 ⋅ 298

Teremos:

C = 40,89 ⋅ 10 - 6   g . m o l / c m ³

Passo 3

Show de bola! Agora vamos encontrar o tempo!

t = 1 18 ⋅ 40,89 ⋅ 10 - 6 ⋅ 2,41 ⋅ 10 - 5 ⋅ 1 L n 1 - 0 1 - 0,024 ⋅ 0,6096 2 - 0,508 2 2

O tempo será então:

t = 131.755.073,3   s

Que louco, né? Vamos passar isso para dias, ok?

t ≈ 1525   d i a s

Isso significa que vai demorar muitooooo para essa água evaporar… Dá até pra gente considerar que ela não vai evaporar e pedir para alguém secar esse chão, né? hahaha

Resposta

t ≈ 1525   d i a s

Exercício Resolvido #7

Um capilar é preenchido até a metade de seu comprimento com etanol, com concentração C , densidade ρ e coeficiente de difusividade D . O ar seco na outra metade do capilar se encontra estagnado, e o etanol leva um tempo, t , para evaporar completamente. Como deveria se comportar o tempo, se sua concentração fosse reduzida a metade.

Passo 1

Bom, essa questão aqui quer saber o que acontece com o tempo se a concentração for reduzida a metade… Lembrando que os outros parâmetros serão todos iguais, beleza?

A gente pode fazer a razão da segunda situação, sendo a concentração menor, com a primeira situação… Vamos nessa!

Relembrando que a equação do tempo para um regime pseudo-permanente é:

t = ρ A M A ⋅ C ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Vamos ter então nossa razão como sendo:

t 2 t 1 = ρ A M A ⋅ C 2 ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2 ρ A M A ⋅ C 1 ⋅ D A ,   B ⋅ 1 L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Cortando todos os termos completamente iguais teremos:

t 2 t 1 = ρ A M A ⋅ C 2 ⋅ D A ,   B ρ A M A ⋅ C 1 ⋅ D A ,   B

t 2 t 1 = ρ A M A ⋅ C 2 ⋅ D A ,   B ⋅ M A ⋅ C 1 ⋅ D A ,   B ρ A

Cortando mais uma vez os termos iguais, temos:

t 2 t 1 = C 1 C 2

E sendo C 2 = C 1 2 , ficamos com:

t 2 t 1 = C 1 C 1 2

Vamos ficar então:

t 2 t 1 = 2

Isso quer dizer que:

t 2 = 2 ⋅ t 1

Então se mantemos todos os termos iguais e diminuímos a concentração na metade, o tempo de evaporação vai dobrar, ou seja, uma menor concentração nos oferece um maior tempo de evaporação.

Show de bolinhas!

Resposta

t 2 = 2 ⋅ t 1

Tendo a metade da concentração, o etanol levará o dobro de tempo para evaporar.

Exercício Resolvido #8

Um capilar contém acetona, cujo nível distancia-se do topo a 1,10   c m . O capilar é mantido a 20 ° C e 750   m m H g , enquanto que uma corrente de ar seco escoa sobre o topo do tubo. Após 8   h de operação, o nível do líquido cai para 2,05   c m a mais de corrente de ar. Sabendo que a pressão de vapor da acetona a 20 ° C é 180   m m H g , determine o seu coeficiente de difusão no ar seco.

Dado: ρ A c = 0,792   g / c m ³ ; M A c = 58,08   g / m o l

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse probleminha aí!

O enunciado quer que a gente descubra coeficiente de difusão no ar seco, e nos deu as seguintes informações:

Z 0 = 1,10   c m Z 1 = 2,05   c m P = 750   m m H g

T = 20 ° C → 293   K t = 8   h → 28800   s   P A V a p = 180   m m H g

ρ A c = 0,792   g / c m ³ M A c = 58,08   g / m o l

Pra achar o coeficiente de difusão, podemos usar a seguinte equação:

D A ,   B = ρ A M A ⋅ 1 C ⋅ L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ t 1 ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

Opa! Mas tá faltando gente aí, né? Vamos encontrar quem está faltando!

Passo 2

Vamos começar encontrando y A ,   s , assim olha só:

y A ,   s = P A V a p P

Substituindo os valores, temos:

y A ,   s = 180 750

Vamos ter então:

y A ,   s = 0,24

E considerando que no topo está presente ar puro, então:

y A ,   t = 0

Agora encontrando a concentração:

C = P R ⋅ T

Usando a constante dos gases como R = 62,3637   m m H g . L / K . m o l , e substituindo os valores, temos:

C = 750 62,3637 ⋅ 293

A concentração será:

C = 0,0410   m o l / L

Passando ele para as unidades corretas, vamos ter:

C = 0,0410   m o l L ⋅ 1   L 1000   c m ³

C = 41,0 ⋅ 10 - 6   m o l / c m ³

Beleza! Agora que temos tudo que precisamos, partiu achar o D A B !

Passo 3

Agora vamos voltar lá na equação e substituir nossos valores:

D A ,   B = ρ A M A ⋅ 1 C ⋅ L n 1 - y A ,   t 1 - y A ,   s ⋅ t 1 ⋅ Z 1 2 - Z 0 2 2

D A ,   B = 0,792 58,08 ⋅ 1 41,0 ⋅ 10 - 6 ⋅ L n 1 - 0 1 - 0,24 ⋅ 28800 ⋅ 2,05 2 - 1,10 2 2

Vamos ficar com:

D A ,   B = 0,01364 ⋅ 3,0859 ⋅ 1,49625

D A ,   B = 0,063   c m ² / s

Uhul! Show de bola!

Resposta

D A ,   B = 0,063   c m ² / s