Difusão em Regime Transiente

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Teoria

Vamos juntos para mais um tópico! Se ligou que estamos saindo do regime permanente, né? Mas o que vai mudar na nossa vida com esse tal de Regime Transiente?

Dá uma olhada aqui, temos um recipiente com um líquido qualquer dentro dele, temos uma concentração inicial ( C 0 ) e uma concentração final ( C ).

O que aconteceu é que, nesse exemplo, a concentração diminuiu com o passar do tempo... Esse poderia ser um exemplo simples de um problema transiente, beleza?

Ou seja, aqui a gente vai ver como podemos lidar quando as condições do nosso problema estão variando com o tempo.

No regime transiente, a transferência de massa em geral quer dizer liberação ou acúmulo de uma espécie em um meio, fazendo com que a concentração mude ao longo do tempo. Então temos que a concentração será uma função do tempo:

C A = f ( t )

Logo, nós temos que:

∂ C A ∂ t ≠ 0

Ou seja, se o regime é transiente quando a gente fizer o balanço de massa, a gente não pode mais desprezar o termo de concentração em função do tempo. Vamos então considerar que o transporte de massa está acontecendo só por difusão (sem convecção), o nosso balanço vai ficar assim:

d C A d t + ∇ N A = R A

Aqui as nossas equações vão ficar um pouquinho mais complexas... Agora a gente vai ter derivadas espaciais, com relação ao espaço, e derivadas temporais, com relação ao tempo. E para resolver elas, a gente vai precisar de algumas simplificações que vão nos ajudar, elas geralmente são dadas no problema, as principais são:

  • Geometria simples;
  • Condições de início (tempo) e de contorno (espaço);
  • Coeficiente de difusão ( D A B ) constante;

Considerando ainda que não está tendo reação química R A = 0 e que estamos em um problema unidimensional ∇ N A = ∂ C A ∂ z , fazendo as manipulações necessárias, com o conceito da 1ª Lei de Fick, temos então a expressão que define a 2ª Lei de Fick:

∂ C A ∂ t = D A B ∂ 2 C A ∂ z ²

Ela também pode ser expressa em termos da concentração mássica, que ficaria assim:

∂ ρ A ∂ t = D A B ∂ 2 ρ A ∂ z ²

Beleza! Mas como resolver esse tipo de EDO? Bom, pra isso vamos precisar usar alguns artifícios!

Difusão transiente em um meio semi infinito

Pensa numa lagoa, a superfície dela a gente sabe qual é, até porque a gente consegue ver. Mas e o fundo? Não dá nem pra imaginar, né? Ela pode ser tanto rasinha quanto muito funda.

Beleza, e o que eu posso querer achar aqui?

Bom, usando as expressões que a gente já pode encontrar:

  • O perfil de concentração, da mesma forma que já vimos ali em cima;
  • O fluxo de mols transferidos em certo instante de tempo;
  • O fluxo médio dentro de um intervalo de tempo;
  • A taxa de mols transferida também em um intervalo;

Então a gente vai ver uma solução geral para o sólido semi-infinito, dos três tópicos que estão na nossa lista! Vamos lá!

Para encontrar o perfil de concentração vamos precisar admitir as seguintes condições de contorno:

Condição de Contorno Temporal:

t = 0   → C A = C A 0

Ela diz pra gente que quando t = 0 , ou seja, no instante inicial, todo sistema está na concentração inicial.

Condição de Contorno Espacial:

x = 0 → d C A d z = 0

x = L   → C A = C A S

E aqui ela está dizendo que quando estivermos na posição inicial, à variação da concentração ali será zero, e quando a gente tiver na superfície, a concentração será igual à concentração superficial.

Aplicando essas condições de contorno, nós vamos ficar com a seguinte relação:

C A - C A 0 C A s - C A 0 = 1 - e r f x 2 D A B t

Viu que ali tem um e r f ? Ele é como a gente representa a função erro, pra achar seus valores podemos usar essa tabela aqui:

Onde z é todo mundo que está dentro dos parênteses da função e r f ... Se por acaso o valor que estivermos procurando não aparecer aí, vamos precisar interpolar belezinha?!

Pra calcular o Fluxo de mols transferidos no instante t:

N A | Z = 0 = - D A B d C A d z | Z = 0

A partir disso se obtém que:

N A | Z = 0 = ( C A S - C A 0 ) D A B π t

Para calcular o Fluxo médio no intervalo de 0 a t:

N A _ = ∫ 0 t - N A | Z = 0   d t

N A _ = ( C A S - C A 0 ) 4 D A B π t

Para calcular a Massa total transferida em um intervalo de tempo:

m ˙ = ∫ S N A ∙ n ^   d S =   N A _   x   S

Onde m ˙ é a taxa de moles transferidos e S é a superfície em que tá rolando a transferência de massa.

M A t - M A 0 = ∫ 0 t m ˙   d t

M A t - M A 0 é a massa total transferida entre o intervalo 0 e t.

M A t - M A 0 = S ( C A S - C A 0 ) 4 t D A B π

Agora que vimos tudo isso, vamos praticar!

Difusão transiente em um meio semi infinito

Beleza, e o que eu posso querer achar aqui?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Quando a densidade de uma espécie A em um meio semi-infinito é conhecida no ínicio e na superfície, explique como você determinaria a concentração da espécie A em determinado local e momento.

Passo 1

Fala aí! Vamos de questão teórica para fortalecer os conhecimentos? Partiu!

Bom, o enunciado já começa dizendo que a gente tem a densidade no início, C A ,   i , e a densidade na superfície, C A ,   s , né?

Opa! Vamos puxar da memória essa relação aqui, olha só:

C A x ,   t - C A ,   i C A ,   s - C A ,   i = e r f c x 2 D A B ⋅ t

Tendo as densidades, bem como o local, o tempo e o coeficiente de difusão… Essa seria uma maneira de conseguir determinar a concentração da espécie A, C A x ,   t , beleza?

Prontinho! Ele só queria saber como a gente calcularia mesmo!

Resposta

C A x ,   t - C A ,   i C A ,   s - C A ,   i = e r f c x 2 D A B ⋅ t

Exercício Resolvido #2

Na análise da difusão de massa transiente, podemos tratar a difusão de um sólido em outro sólido de espessura finita (como a difusão de carbono em um componente de aço comum) como o processo de difusão em um meio semi-infinito? Explique.

Passo 1

Opa! Vamos de teoria!

Essa questão é aquela que a gente para, avalia e pensa… Boa pergunta!! haha

Vamos responder ela então! Para isso vamos ter em mente que quando temos difusão de dois sólidos, ela só vai afetar a camada mais superficial deles, beleza?

Opa! Acabamos de responder a questão… Se estamos em uma camada fina da superfície do outro sólido, é como se a difusão estivesse acontecendo realmente em um meio semi-infinito, tranquilo?

Mandamos bem!

Resposta

Sim, pois quando temos difusão de dois sólidos, ela só vai afetar a camada mais superficial deles podendo ser tratado então como um meio semi-infinito.

Exercício Resolvido #3

Como podemos identificar um meio semi infinito?

Passo 1

Bom, pra começar, o que precisamos ter para considerar um sólido em um meio semi-infinito?

A gente pode até pensar que ele tem que necessariamente ser um sólido muitooo grande… Mas não é bem isso não!

Podemos considerar como um meio semi infinito todo sólido, com qualquer tamanho e forma, que possua a profundidade de penetração muito menor que a espessura dele, beleza?

Aí dá a impressão de infinito! Show de bola, né? Mas e o que é essa profundidade de penetração? Ela é a localização do nosso x que está no perfil de concentração da superfície do sólido.

Prontinho!

Resposta

Passo 1.

Exercício Resolvido #4

Considere o método de endurecimento do aço obtido a partir de processo de difusão de carbono (cementação). O aço a ser cementado apresenta 0,25   w t   % de carbono na composição nominal, e será tratado na temperatura de 9500 ° C . A atmosfera do forno de cementação apresenta potencial de carbono de 1,2   w t   % . Calcule o tempo necessário para que o aço tenha 0,8   w t   % de carbono a 0,5   m m de profundidade. O coeficiente de difusão para o carbono no ferro é de 1,6 ⋅ 10 - 11   m ² / s . A peça apresenta espessura semi-infinita.

Passo 1

Vamos resolver essa questão aí juntinhos? Partiu!

Bom, pra gente não se enrolar vamo começar anotando tudo o que foi dado, beleza?

  • C A ,   i = 0,25   w t   % C
  • C A x ,   t = 0,80   w t   % C
  • C A ,   s = 1,20   w t   % C
  • x = 0,50   m m   →   5 ⋅ 10 - 4   m
  • D A B = 1,6 ⋅ 10 - 11   m ² / s

Beleza! Quem a gente precisa encontrar aqui é o tempo, certo? Para isso a gente pode usar essa relação aqui, olha só:

C A x ,   t - C A ,   i C A ,   s - C A ,   i = 1 - e r f x 2 D A B ⋅ t

Substituindo nossos dados, ficamos com:

0,80 - 0,25 1,20 - 0,25 = 1 - e r f 5 ⋅ 10 - 4 2 1,6 ⋅ 10 - 11 ⋅ t

Vamos ficar com:

0,4210 = e r f 62,5 t

Vish! Deu ruim! O t , está dentro da função erro!

Relaxa! A gente pode fazer uma interpolação, ok? Vem comigo!

Passo 2

Precisamos achar um z , tal que e r f   z = 0,4210 , tranquilo?

Então vamos usar dois valores, um abaixo e outro acima pra gente descobrir quem será esse z , olha só:

z → e r f z

0,35 → 0,3794

z → 0,4210

0,40 → 0,4284

Interpolando vamos ter que:

z - 0,35 0,40 - 0,35 = 0,4210 - 0,3794 0,4284 - 0,3794

Teremos então:

z = 0,392

Show! Mas nosso z é tudo que estava dentro da função erro, certo? Então temos que:

62,5 t = z

Logo:

62,5 t = 0,392

Manipulando essa equação:

t = 62,5 0,392 2

O tempo será então:

t = 25400   s

ou

t ≈ 7   h o r a s

Uhul! Conseguimos!

Resposta

t ≈ 7   h o r a s

Exercício Resolvido #5

É feita a difusão de boro numa pastilha de silício durante 7   h a 1100 ° C . A pastilha de silício inicialmente é isenta de boro. Qual será a profundidade abaixo da superfície na qual a concentração em boro será de 10 17   á t o m o s / c m 3 , se a concentração de boro na superfície for mantida constante e igual a 10 18   á t o m o s / c m 3 ?

Dados:

  • Solução da 2ª Lei de Fick para difusão não estacionária para as condições de contorno do exercício:
  • C S   -   C x C S   -   C o = e r f x 2 D t

  • Coeficiente de difusão do B no Si a 1100 ° C : 4,0 ⋅ 10 - 13   c m 2 / s

Passo 1

E aí belezinha? Vamos resolver mais essa!

Olha o enunciado deu aquela ajuda, hein? Esses dados aí vão nos facilitar bastante!

Bom, vamo começar anotando tudo o que foi dado, show?

  • C S = 10 18   á t o m o s / c m 3
  • C x = 10 17   á t o m o s / c m 3
  • t = 7   h   → 25200   s
  • D = 4,0 ⋅ 10 - 13   c m ² / s

Olha só! O enunciado já deu até a fórmula pra gente usar, mas olhando rápido a gente pode achar que tá faltando o C o , né? Mas não tá não, sabe porquê? O enunciado fala que a pastilha de silício inicialmente é isenta de boro… Opa! Isso quer dizer que:

C o = 0

Tranquilo? Agora partiu continhas!

Passo 2

Substituindo apenas o lado esquerdo na equação, temos:

10 18   -   10 17 10 18   -   0 = e r f x 2 D t

Vamos ficar com:

0,90 = e r f x 2 D t

Agora a gente sabe quanto tem que dá essa função e r f , né? Então vamos ver na tabela que foi dada pra achar quem é o z … Lembrando que z é toda galera que fica dentro da função e r f . Vamos lá!

Nosso valor de 0,90 , está entre esses dois valores aí… Ops! Vamos precisar interpolar!

A gente pode montar assim, olha só:

z → e r f z

1,1 → 0,8802

z → 0,9000

1,2 → 0,9103

Interpolando vamos ter que:

z - 1,1 1,2 - 1,1 = 0,9000 - 0,8802 0,9103 - 0,8802

Teremos então:

z = 1,1658

Opa! Então isso quer dizer que:

x 2 D t = 1,1658

E substituindo os outros dados que temos:

x 2 4,0 ⋅ 10 - 13 ⋅ 25200 = 1,1658

Rearranjando, ficaremos com:

x = 1,1658 ⋅ 2,01 ⋅ 10 - 4

Nossa profundidade será:

x = 2,34 ⋅ 10 - 4   c m

ou

x = 2,34 ⋅ 10 - 6   m

Show de bola! Arrasamos!

Resposta

x = 2,34 ⋅ 10 - 6   m

Exercício Resolvido #6

Uma peça de aço com concentração inicial de carbono C o = 0,20   % é exposta a 925   ° C por 1   h o r a a um gás que mantém a concentração na superfície da peça num valor constante C s = 0,50   % . Calcular a concentração de carbono para x = 0,01   c m , sabendo-se que D = 3 ⋅ 10 - 7   c m ² / s .

Passo 1

Opa! Partiu resolver outra questão! Vamos nessa!

O enunciado pede pra gente encontrar a concentração do carbono, e ele nos dá as seguintes informações:

  • C o = 0,20   %
  • C s = 0,50   %
  • x = 0,01   c m
  • D = 3 ⋅ 10 - 7   c m ² / s
  • t = 1   h → 3600   s

Para achar a concentração podemos usar a equação:

C A x ,   t - C A ,   i C A ,   s - C A ,   i = 1 - e r f x 2 D A B ⋅ t

Já que temos todos os dados, vamos lá achar!

C A x ,   t - 0,20 0,50 - 0,20 = 1 - e r f 0,01 2 3 ⋅ 10 - 7 ⋅ 3600

Ficaremos com:

C A x ,   t - 0,20 0,30 = 1 - e r f 0,1521

Calculando a função erro, teremos:

C A x ,   t - 0,20 0,30 = 1 - 0,1667

Continuando nossas continhas, temos:

C A x ,   t - 0,20 = 0,25

Logo, nossa concentração será:

C A x ,   t = 0,45   %

Show de bolinhas! Arrasamos!

Resposta

C A x ,   t = 0,45   %

Exercício Resolvido #7

Determinar o tempo de carburação necessário para ancorar uma concentração de carbono de 0,45   w t % em uma posição de 2   m m em uma liga de ferro-carbono que contenha inicialmente 0,20   w t % . A concentração da superfície deve ser mantida em 1,30   w t % e o tratamento deve ser conduzido em 1000   ° C .

Dados: D 0 = 2,30 ⋅ 10 - 5   m 2 / s , Q d = 148000   J / m o l , R = 8,31   J / m o l

Passo 1

Partiu resolver mais uma! Estamos indo bem! O enunciado quer que a gente encontre o tempo de carburação nas condições dadas… Vamos começar anotando nossos dados, ok?

  • C S = 1,30   w t %
  • C o = 0,20   w t %
  • C x = 0,45   w t %
  • x = 2   m m → 2 ⋅ 10 - 3   m
  • T = 1000 ° C → 1273   K

Bom, vamos usar a equação que relaciona os nossos dados com o que queremos… Essa equação é a segunda Lei de Fick:

C S   -   C x C S   -   C o = e r f x 2 D t

Opa! De cara a gente tá vendo que tá faltando o coeficiente de difusão pra gente achar o tempo, né? Vamos achar ele com a seguinte equação:

D = D 0 ⋅ e - Q d R ⋅ T

Substituindo os dados do enunciado:

D = 2,30 ⋅ 10 - 5 ⋅ e - 148000 8,31 ⋅ 1273

Então o coeficiente de difusão será:

D = 1,9308 ⋅ 10 - 11   m 2 / s

Agora sim vamos para a 2ª Lei de Fick!

Passo 2

Substituindo apenas o lado esquerdo na equação, vamos ter:

1,3   -   0,45 1,3   -   0,2 = e r f x 2 D t

Vamos ficar com:

0,7727 = e r f x 2 D t

Agora vamos usar essa tabelinha aqui pra achar o valor de z e descobrir o tempo que estamos procurando:

Eita! Olha só nosso valor de e r f não está na tabela… Precisamos interpolar! Vamos nessa:

Vamos ter então:

z - 0,85 0,90 - 0,85 = 0,7727 - 0,7707 0,7970 - 0,7707

Ficamos com:

z = 0,8538

Isso quer dizer:

x 2 D t = 0,8538

Substituindo nossos dados:

2 ⋅ 10 - 3 2 1,9308 ⋅ 10 - 11 ⋅ t = 0,8538

Rearranjando, ficaremos com:

t = 10 - 6 1,9308 ⋅ 10 - 11 ⋅ 0,8538 2

O tempo que buscamos é:

t = 71048   s

ou

t ≈ 19,7   h

Uhull!! Arrasamos!

Resposta

t ≈ 19,7   h

Exercício Resolvido #8

Deseja-se difundir o metal A numa barra de metal B a partir de um filme de A depositado em uma face da barra de B, conforme indicado na figura abaixo. Após um tratamento a 1000 ° C por 700   h , a concentração A a uma distância de 3   m m a partir da interface é de 2,5   % . Qual deveria ser a temperatura para que a mesma concentração ( 2,5 % A) fosse atingida em uma posição de 2   m m a partir da interface, supondo o mesmo tempo de tratamento? Considerar as hipóteses e condições de contorno apresentadas abaixo.

Hipóteses e condições de contorno:

  • A concentração inicial de A em B é igual a C o é constante ao longo do corpo B.
  • Nenhum átomo de B atinge a extremidade da barra de metal B oposta à face que recebeu o depósito de metal A, ou seja, a concentração de A nessa extremidade da barra de B é igual a C o durante todo o tratamento térmico de difusão.
  • A concentração de A na interface AB é mantida constante durante todo o tempo de tratamento térmico de difusão e é igual a C S .
  • A difusão de B em A pode ser considerada desprezível nas condições de tratamento térmico.

Equações:

  • Utilizar a seguinte solução para a 2ª Lei de Fick para difusão não estacionária:

C S   -   C x C S   -   C o = e r f x 2 D t

  • A equação para o coeficiente de difusão é a seguinte:

D = D 0 ⋅ e - Δ G d R ⋅ T

Dados:

  • D 0 = 2,7 ⋅ 10 - 5   m 2 / s
  • Δ G d = Q d = 256000   J / m o l
  • R = 8,31   J / m o l

Passo 1

Opa! Fala aí! Essa parece cabeluda, né? Relaxa que nós damos conta juntos!

Olha só, o enunciado nos mostra duas situações diferentes, temos a parte do tratamento 1 e do tratamento 2, vamos anotar nossos dados para cada um deles:

Beleza! Agora usando as condições de contorno que foram dadas, onde C S e C o são constantes, isso quer dizer que todo o lado esquerdo da função é constante:

C S   -   C x C S   -   C o = constante

Sendo assim, temos que:

e r f x 2 D t = constante

E mesmo sofrendo tratamentos diferentes, essa constante nos dois tratamentos serão iguais! Logo podemos dizer que:

e r f x 1 2 D 1 t 1 = e r f x 2 2 D 2 t 2

Passo 2

Se as funções são iguais, então o que está dentro delas também é:

x 1 2 D 1 t 1 = x 2 2 D 2 t 2

Opa! Se os tempos são iguais, então temos que:

x 1 D 1 = x 2 D 2

O coeficiente do tratamento 1, podemos encontrar pois temos todos os dados, certo?

D 1 = 2,7 ⋅ 10 - 5 ⋅ e - 256000 8,31 ⋅ 1273

D 1 = 8,35 ⋅ 10 - 16   m 2 / s

Para o tratamento 2 não podemos fazer isso! Porque não temos a temperatura, que é justamente o que estamos procurando, ok? Mas relaxa! Agora vamos voltar na relação que fizemos ali em cima e vamos conseguir achá-la!

3 8,35 ⋅ 10 - 16 = 2 D 2