Transferência De Calor e Massa

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender um pouquinho melhor sobre Transferência de Calor e Massa.

Já parou pra estudar uma matéria da sua faculdade pelo livro que seu professor recomendou e não sabia nem por onde começar? O Responde Aí tá aqui pra pegar sua mão e te mostrar o caminho!

Inclusive, vou deixar aqui embaixo alguns links que podem complementar muito bem o que veremos nessa página. Não deixa de conferir o primeiro, com todos os exercícios do livro do Incropera resolvidos passo a passo!

Veja também

Como ocorre a Transferência Simultânea de Calor e Massa?

Nos processos industriais reais, as transferências de calor e de massa ocorrem ao mesmo tempo. Uma reação química qualquer é um exemplo claro disso, concorda? As reações geram ou consomem calor, ao mesmo tempo em que há a reorganização dos elementos químicos.

Por causa disso, é importantíssimo aprender a modelar matematicamente os sistemas que transportam calor e massa de maneira simultânea.

A transferência de calor é o processo que ocorre quando dois corpos de temperaturas diferentes são aproximados. O calor do corpo de maior temperatura é transmitido para o de menor até que eles atinjam temperaturas iguais.

Já a transferência de massa, é o processo de transporte de espécies químicas de uma região para outra. Isso se dá pelos mecanismos de difusão ou convecção.

E como esses caras ocorrem simultaneamente? Ora, quando uma substância está se difundindo, ela também difunde sua energia interna. Isso é mostrado por essa expressão aqui:

👉 é a taxa de transferência térmica.

👉 é o plano que o calor atravessa.

👉 é a entalpia de cada espécie.

👉 é o fluxo molar relativo de cada espécie.

Agora, se tiver um gradiente de temperatura aí nesse meio, devemos somar a Lei de Fourier para condução:

Aquele ali é a condutividade térmica.

Masss, quando o fluido está em movimento, a transferência de calor é dada pela convecção. Aí a equação passa a ser essa aqui:

E o é o coeficiente de convecção térmica.

Transferência de Calor e Massa com Mudança de Fase

Essa imagem aqui ilustra a condensação de um gás em uma superfície fria:

Condensação em uma superfície fria.
Condensação em uma superfície fria.

Vamos considerar que somente A está condensando, não há reação química e o transporte de calor e de massa é só na direção do eixo z.

Pelas correlações de transferência de calor, é possível calcular o coeficiente de convecção:

Esse é o número de Rayleigh e é a razão entre a área e o perímetro.

Para a transferência de massa, vamos usar um balanço diferencial:

Se usarmos a expressão do fluxo para A difundindo, chegamos nisso aqui:

Como a temperatura está mudando ao longo do eixo, a gente tem que achar uma correlação entre a difusividade e z. Se liga nisso aqui:

Supondo um perfil de temperatura, a gente pode escrever assim:

E como estamos falando de gases, temos essa relação aqui:

Aí a expressão do fluxo fica:

Para resolver essa expressão, usamos as condições de contorno:

Com isso, o fluxo de energia total vai ser expresso assim:

Belezinha? Bora praticar um pouco com nossos exercícios selecionados pra você então!

Transferência de Calor e Massa com Mudança de Fase

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere um raso corpo de água. É possível que a água congele durante uma noite fria e seca, mesmo se o ar ambiente e a temperatura da superfície em torno nunca chegar a 0 ° C ? Explique.

Passo 1

Questãozinha teórica que a gente gosta pra fixar os conhecimentos que adquirimos até aqui!

Bom, o enunciado quer saber se um pouquinho de água exposto durante a noite pode congelar, mesmo que a superfície não atinja a temperatura de 0 º C , que é a temperatura de congelamento da água em uma pressão atmosférica…

Bom, a primeira coisa que poderia passar pela nossa cabeça é que isso não é possível, né? Mas vamos analisar com calma e usando todo nosso conhecimento de transferência de calor e massa, ok?

Pensa só, se o ar em volta do corpo de água não estiver saturado vai ter uma transferência de massa ali, né?

E para isso acontecer então nossa água que estava líquida precisa evaporar, certo?

Como é que a água vai evaporar se o ar e a superfície dela estão na mesma temperatura? De onde vai vir essa energia?

Passo 2

Vamos nos esforçar pra entender isso, beleza?

É o seguinte, sabe a água de está mais no interior do corpo de água? Então, ela vai ceder energia para que a água da superfície possa evaporar… Beleza?

E se ela está perdendo energia, o que vai acontecer com ela????

Exatamenteee!! A porção de água do interior vai perder energia para a evaporação da água da superfície e assim consegue atingir a temperatura de congelamento!

Opa! Então nossa resposta é sim!!!

Resposta

Sim, é possível que a água congele, caso ocorra uma transferência simultânea de calor e massa.

Exercício Resolvido #2

Em um dia de verão, quando a temperatura marca cerca de 30 ° C , a 1   a t m , precisamos resfriar uma lata de refrigerante. Para fazer isso vamos manter um continuamente molhado em volta da latinha e colocá-la em frente a um ventilador. Considerando uma umidade relativa de 40 % , determine a temperatura da bebida quando as condições permanentes forem atingidas.

Passo 1

Bom, vejamos o que temos aqui… O ar sai do ventilador direto para uma latinha embrulhada em um pano úmido… Hummm… Estamos então tentando esfriar ela por transferência simultânea de calor e de massa, certo?

O enunciado deu pra gente a temperatura, a pressão e a umidade relativa do ar… Mas pra seguir em frente precisamos fazer algumas considerações, ok?

Vamos primeiro desprezar os efeitos da radiação e depois considerar o ar e o vapor d'água como gases ideais… Agora sim vamos partir para achar o que o problema quer.

Passo 2

Agora vamos visitar a tabela A-9 e A-15, para pegar alguns dados da água e do ar seco, ok? Mas para isso precisamos de uma temperatura média, então vamos encontrar ela assim:

T m é d i o = T ∞ + T s 2

Ops! Temos o T ∞ , mas não temos a temperatura da superfície… Então vamos considerar uma, tranquilo? Vamos supor que:

T s = 20 ° C

Agora sim podemos ter uma temperatura média, e ela será:

T m é d i o = 30 + 20 2

T m é d i o = 25 ° C

Agora sim, visitando as tabelas, temos como dados adicionais para a água:

h f g = 2,454   k J / k g P r = 2,34   k P a

Opa! Mais ainda está faltando um dado importante para a água, o valor de P r na temperatura de 30 ° C , ele será:

P r = 4,25   k P a

Agora sim, vamos as propriedades do ar seco:

c p = 1007   k J / k g . ° C α = 2,141 ⋅ 10 - 5   m 2 / s

Agora olhando para a tabela A-1, temos as massas molares deles sendo:

M á g u a = 18   k g / k m o l M a r = 29   k g / k m o l

E visitando a tabela 14-4, temos a difusividade do vapor de água no ar a 25 ° C , como sendo:

D H 2 O ,   a r = 2,50 ⋅ 10 - 5   m ² / s

Passo 3

Beleza! Agora que reunimos todos os dados possíveis, vamos achar a temperatura! Para isso podemos usar a equação de Chilton-Colburn, que diz:

T s = T ∞ - h f g c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M M ⋅ P v ,   s - P v ,   ∞ P

Xiii! Deu ruim! Tá faltando gente ali ainda pra gente calcular a temperatura… Vamos começar calculando o número de Lewis, ok?

L e = α D A B

Nós temos esses dados, então substituindo:

L e = 2,141 ⋅ 10 - 5 2,5 ⋅ 10 - 5

Teremos então:

L e = 0,856

Agora precisamos encontrar a pressão de vapor na superfície… E como nós temos o ar da superfície saturado ela vai ser igual a pressão de saturação da água na temperatura da superfície:

P v ,   s = 2,34   k P a

E a pressão de vapor do ar distante da superfície será:

P v ,   ∞ = ϕ ⋅ P s a t @ T ∞

Teremos então:

P v ,   ∞ = ϕ ⋅ P s a t @ 30 ° C

E substituindo nossos valores:

P v ,   ∞ = 0,40 ⋅ 4,25

Ficaremos com:

P v ,   ∞ = 1,70   k P a

E não podemos esquecer, que a pressão dada foi de:

P = 1   a t m   →   101,3   k P a

Passo 4

Uhul! Agora sim temos todos os dados, vamos voltar lá na nossa equação da temperatura:

T s = T ∞ - h f g c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M á g u a M a r ⋅ P v ,   s - P v ,   ∞ P

Substituindo nossos valores:

T s = 30 - 2,454 1007 ⋅ 0,856 2 / 3 ⋅ 18 29 ⋅ 2,34 - 1,70 101,3

E temos como a temperatura da bebida na superfície sendo:

T s = 19,4 ° C

Prontinho! Arrasamos!!

Resposta

T s = 19,4 ° C

Exercício Resolvido #3

Durante a evaporação a partir de um corpo de água para o ar, em que condições o calor latente de vaporização é igual à transferência de calor por convecção do ar?

Passo 1

Fala aí! Partiu resolver essa questão aí juntos! O enunciado quer saber qual a condição que o calor latente de vaporização vai ser igual a transferência de calor por convecção, certo?

Bom, no comecinho da evaporação temos uma taxa de evaporação maior que o calor que é fornecido pelo ambiente, certo? Sendo assim, então, o corpo de água vai cedendo energia para a evaporação continuar… E fazendo isso a temperatura dele vai diminuir!

Mas chega um momento em que esse sistema vai entrar em regime permanente, e aí a temperatura do corpo de água vai estabilizar, teremos então um equilíbrio térmico. Nessa condição vamos ter que o calor latente de vaporização será o mesmo que a transferência de calor por convecção, belezinha?

Show de bola!

Resposta

Passo 1.

Exercício Resolvido #4

Considere a difusão de hidrogênio (espécie A) em ar, em água líquida ou em ferro (espécie B), a T = 293   K . Calcule os fluxos da espécie nas bases molar e mássica, se o gradiente de concentração em um local específico for igual a d C A / d x = 1   k m o l / m 3 ⋅ m . Compare o valor da difusividade mássica com o da condutividade térmica. A fração molar do hidrogênio, x A , é muito menor que um.

Passo 1

Vamos lá! Nesse problema precisamos do fluxo mássico e do fluxo molar do hidrogênio e também precisamos encontrar os valores de difusividade térmica e mássica para as três espécies pedidas, ok?

Vamos começar buscando dados auxiliares, esses dados podem ser encontrados no apêndice do livro que você usa na matéria, beleza?

Para o hidrogênio e o ar, vamos ter:

D A B = 0,41 ⋅ 10 - 4   m ² / s

Para o hidrogênio e a água:

D A B = 0,63 ⋅ 10 - 8   m ² / s

Para o hidrogênio e o ferro:

D A B = 0,26 ⋅ 10 - 12   m ² / s

Além das difusividades, precisamos de mais alguns dados, no caso do ar:

α = 21,6 ⋅ 10 - 6   m ² / s

No caso da água:

k = 0,603   W / m . K ρ = 998   k g / m ³ c p = 4182   J / k g . K

E para o ferro:

α = 23,1 ⋅ 10 - 6   m ² / s

Passo 2

Agora podemos encontrar a difusividade mássica do hidrogênio em cada espécie, na temperatura de 293   K , usando a relação:

D A B ,   T = D A B ,   298 K ⋅ T 298 3 / 2

Primeiro para o ar:

D A B ,   T = 0,41 ⋅ 10 - 4 ⋅ 293 298 3 / 2 = 0,40 ⋅ 10 - 4   m ² / s

Agora para a água:

D A B ,   T = 0,63 ⋅ 10 - 8 ⋅ 293 298 3 / 2 = 0,63 ⋅ 10 - 8   m ² / s

E para o ferro:

D A B ,   T = 0,26 ⋅ 10 - 12 ⋅ 293 298 3 / 2 = 2,53 ⋅ 10 - 13   m ² / s

O enunciado nos disse que a fração molar do hidrogênio é muito menor que um, isso quer dizer que estamos trabalhando com uma espécie diluída e por conta disso a difusividade térmica da água pode ser dada por:

α = k ρ ⋅ c p

α = 0,603 998 ⋅ 4182

α = 0,144 ⋅ 10 - 6   m ² / s

Passo 3

Beleza! Estamos quase lá! Agora vamos encontrar o fluxo molar, para cada uma das espécies, ok? Podemos encontrá-lo assim:

J A * =   - D A B ⋅ d C A d x

E lembrando que o enunciado nos deu que d C A / d x = 1   k m o l / m 3 ⋅ m … Vamos ter para o ar:

J A * =   - 0,40 ⋅ 10 - 4 ⋅ 1 =   - 0,40 ⋅ 10 - 4   k m o l / s . m ²

Para a água:

J A * =   - 0,63 ⋅ 10 - 8 ⋅ 1 =   - 0,63 ⋅ 10 - 8   k m o l / s . m ²

E para o ferro:

J A * =   - 2,53 ⋅ 10 - 13 ⋅ 1 =   - 2,53 ⋅ 10 - 13   k m o l / s . m ²

Para fechar vamos achar o fluxo mássico de cada espécie, com a relação:

J A = M A ⋅ J A *

Para o ar, vamos ter:

J A = 2 ⋅ - 0,40 ⋅ 10 - 4 =   - 0,80 ⋅ 10 - 4   k g / s . m ²

Para a água:

J A = 2 ⋅ - 0,63 ⋅ 10 - 8 =   - 1,26 ⋅ 10 - 8   k g / s . m ²

E para o ferro:

J A = 2 ⋅ - 2,53 ⋅ 10 - 13 =   - 5,06 ⋅ 10 - 13   k g / s . m ²

Conseguimos! Vimos aqui que diferentes materiais respondem à transferência de massa com taxas bem distintas, dependendo se o meio será um gás, no caso do ar, um líquido, no caso da água, ou um sólido, no caso do ferro.

Resposta

Para o ar:

D A B ,   T = 0,40 ⋅ 10 - 4   m ² / s J A =   - 0,80 ⋅ 10 - 4   k g / s . m ²

Para a água:

D A B ,   T = 0,63 ⋅ 10 - 8   m ² / s J A =   - 1,26 ⋅ 10 - 8   k g / s . m ²

Para o ferro:

D A B ,   T = 2,53 ⋅ 10 - 13   m ² / s J A =   - 5,06 ⋅ 10 - 13   k g / s . m ²

Exercício Resolvido #5

Marque as declarações como sendo verdadeiras (V) ou falsas (F).

  1. As unidades da difusividade da massa, da difusividade térmica e da difusividade da quantidade de movimento são todas iguais.
  2. Se a concentração molar (ou densidade molar) C de uma mistura é constante, então sua densidade ρ também deve ser constante.
  3. Se a velocidade média da massa de uma mistura binária é igual a zero, então a velocidade média molar da mistura deve também ser zero.
  4. Se as frações molares de A e B em uma mistura são, ambas, de 0,5, então a massa molar da mistura é simplesmente a média das massas de A e B.

Passo 1

Vamos juntos analisar cada uma dessas afirmações!

Começando pela letra a, a unidade das difusividades térmica, de massa e de movimento são, no S.I. m ² / s , logo essa afirmação é verdadeira!

Agora analisando a letra b, a densidade não depende apenas da concentração molar, por isso mesmo a concentração sendo constante, não quer dizer que a densidade será também. Portanto, essa é falsa!

A letra c, diz que se a velocidade da mistura binária for zero, a velocidade média molar da mistura também vai ser, mas para isso acontecer as frações molares devem ser iguais, senão isso não é real. Sendo assim, a alternativa é falsa, pois não será necessariamente assim, beleza?

Para fechar vamos de letra d, analisando a massa molar da mistura é dada pela soma da fração molar multiplicada da massa molar de cada espécie da mistura… Então se cada uma tem a mesma fração molar a massa molar da mistura será sim a média das massas. Portanto, é verdadeira!

Pronto! Conseguimos!

Resposta

  1. V
  2. F
  3. F
  4. V

Exercício Resolvido #6

O diclorometano é um ingrediente comum em decapantes de tintas. Além de causar irritações, pode ser absorvido pela pele. Deve-se usar luvas de proteção quando manipular este decapante. Usando-se luvas de borracha butílica ( 0,04   c m de espessura), qual é o fluxo de diclorometano através da luva?

Dados: Coeficiente de difusão em borracha butílica: 110 ⋅ 10 - 12   m ² / s

Concentrações superficiais: C 1 = 440   k g / m ³ e C 2 = 20   k g / m ³

Passo 1

Fala aí! Olha só um probleminha comum em transferência de massa! Precisamos encontrar o fluxo mássico de diclorometano através das luvas, ok? Vamos nessa!!

Podemos achar o fluxo usando a equação:

J A =   - D A B ⋅ d C A d x

Essa variação ficará com a seguinte cara:

J A =   - D A B ⋅ Δ C A Δ x

E sendo esse delta a diferença entre final e inicial, teremos:

J A =   - D A B ⋅ C A 2 - C A 1 x 2 - x 1

Beleza! Substituindo os dados do nosso enunciado:

J A =   - 110 ⋅ 10 - 12 ⋅ 20 - 440 0,04 ⋅ 10 - 2 - 0

Ficaremos então com um fluxo de:

J A =   1,16 ⋅ 10 - 4   k g / m ² . s

Prontinho!

Resposta

J A =   1,16 ⋅ 10 - 4   k g / m ² . s

Exercício Resolvido #7

Jarras feitas de argila porosa foram comumente utilizadas para resfriar água no passado. Uma pequena quantidade de água que vaza para fora mantém a superfície externa do jarro molhada o tempo todo, e o ar relativamente seco e quente fluindo sobre a jarra causa a evaporação dessa água. Parte do calor latente de evaporação provém da água na jarra e, como resultado, a água é resfriada. Considerando que as condições ambientais são 1   a t m , 32 ° C e 40 % de umidade relativa, determine a temperatura da água quando as condições permanentes forem atingidas.

Passo 1

Bom, vamos para mais uma questãozinha! O bizu dessa aqui, é lembrar que quando estamos em condições de regime permanente temos que o calor latente de vaporização é igual a transferência de calor por convecção, beleza?

Pra começar, a gente precisa da temperatura da superfície que não temos… Vamos então supor que temos:

T s = 22 ° C

Nessa temperatura, vamos ter as seguintes propriedades da água:

P V ,   s = 2,671   k P a Δ H e v = 2449200   J / k g

Agora, trabalhando com a temperatura média, vamos ter:

T m é d i o = T s + T ∞ 2

Substituindo nosso dado, com a temperatura que a gente supôs:

T m é d i o = 22 + 32 2

Vamos ter então:

T m é d i o = 27 ° C

Na temperatura média, as propriedades do ar são:

c p = 1007   J / k g . K α = 2,1678 ⋅ 10 - 5   m ² / s

E ainda na temperatura média, temos a difusividade do vapor de água sendo:

D A B = 2,525 ⋅ 10 - 5   m ² / s

Lembrando que todos esses dados são tabelados, de acordo com a temperatura que estamos usando, ok?

Passo 2

Agora sim! Vamos usar a equação para encontrar a temperatura da superfície, no caso de transferência simultânea de calor e massa:

T s = T ∞ - Δ H e v c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M A M B ⋅ P V ,   s - P A ,   ∞ P

Ops! Tá faltando coisa aí ainda, hein? Vamos começar pelas pressões… Estando o ar a uma temperatura de 32 ° C , que foi dado no enunciado, temos a pressão de vapor da água:

P V ,   ∞ = 4,8   k P a

E sendo a pressão parcial do vapor de água na fase gás, dada pela equação:

P A = U R ⋅ P V

Vamos ter então:

P A ,   ∞ = U R ⋅ P V ,   ∞

Usando a umidade relativa dada no enunciado e o valor da pressão de vapor, vamos ficar com:

P A ,   ∞ = 0,4 ⋅ 4,8

E teremos a nossa pressão sendo:

P A ,   ∞ = 1,92   k P a

Show! Agora só falta achar o número de Lewis! Vamos nessa!

L e = α D A B

Temos esses dados, substituindo ficamos com:

L e = 2,167 ⋅ 10 - 5 2,525 ⋅ 10 - 5

L e = 0,858

Passo 3

Partiu calcular a temperatura! Relembrando que:

T s = T ∞ - Δ H e v c p ⋅ L e 2 / 3 ⋅ M A M B ⋅ P V ,   s - P A ,   ∞ P

Lembrando que temos as massas molares serão:

M A = 18   k g / k m o l M B = 29   k g / k m o l

E agora substituindo os valores que foram dados e os que encontramos, temos:

T s = 32 - Δ 2449200 1007 ⋅ 0,858 2 / 3 ⋅ 18 29 ⋅ 2,671 - 1,92 101,3

Nossa temperatura será, aproximadamente:

T s = 19,6 ° C   ≈   20 ° C

Resposta

T s ≈ 20 ° C

Exercício Resolvido #8

Uma piscina aquecida de 25   m X 25   m e 1,5   m de profundidade é mantida a uma temperatura constante de 30 ° C em um local onde a pressão atmosférica é 1   a t m . Considerando que o ar ambiente está a 20 ° C , a umidade relativa é 60 % e a temperatura efetiva do céu é 0 ° C . Determine a taxa de perda de calor a partir da superfície superior da piscina por (a) Radiação (b) Convecção e (c) Evaporação. (d) Considerando as perdas de calor para o chão desprezíveis, determine o tamanho do aquecedor.

Passo 1

Fala aí! Parece que essa questão vai nos dar trabalho, né? Mas relaxa que tamo junto e vai dar certo!

Vamos começar anotando nossos dados, beleza?

L = 25   m T s = 30 ° C → 303   K T ∞ = 20 ° C → 293   K

P = 1   a t m → 101,3   k P a U R = 0,6 T c é u = 0 ° C → 273   K

Com esses dados aí a gente precisa achar a taxa de perda de calor por radiação, convecção e evaporação e com esses resultados encontrar o tamanho do aquecedor… Partiu!

Passo 2

Para encontrar a taxa de transferência de calor por radiação, vamos usar a seguinte equação:

Q r a d = σ ⋅ A ⋅ T s 4 - T c é u 4

Lembrando que σ = 5,67 ⋅ 10 - 8   W / m . K , vamos ficar com:

Q r a d = 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ 25 ⋅ 25 ⋅ 303 4 - 273 4

Teremos uma taxa de radiação igual a:

Q r a d = 1,02 ⋅ 10 5   W