Introdução à Camada-Limite

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Teoria

Conceito de Camada-Limite

Fala, chefia! Tudo certo?

Chegou a hora da gente conversar sobre escoamentos externos!

Mas o que é isso? Seria um escoamento por fora do tubo???

Fica tranquilo, o escoamento externo nada mais é do que um escoamento que ocorre ao redor de um objeto! E vemos isso acontecer o tempo todo no nosso dia a dia, como por exemplo o ar escoando na superfície do carro, ou da asa de um avião!

Aqui em baixo, temos um esquema do escoamento do ar em torno da asa de uma avião, a asa do avião é um exemplo de um aerofólio. Isso é uma peça projetada para deixar o corpo mais estável.

Agora, vamos entender o que essa imagem ta dizendo pra a gente!

O fluido esta escoando, tranquilão em uma velocidade que chamamos de velocidade de corrente livre ( U ∞ ), quando ele encontra o nosso aerofólio! Imediatamente o fluido sente a presença de uma superfície e muda sua velocidade. A partir dai começa a se desenvolver uma camada de fluido cuja sua velocidade é afetada pela superfície do aerofólio. Chamamos essa camada de camada limite!

A camada limite é então, uma região do escoamento afetada pela presença de uma superfície. Ela é representada pela linha pontilhada, na figura a cima.

Agora que sabemos a definição da camada limite, vamos entender o porquê da velocidade do fluido mudar.

Dentro dessa região afetada pela presença da superfície, vamos imaginar uma camada bem bem fininha de fluido em contato com a superfície do objeto. Neste momento, graças as forças viscosas essa camada de fluido para em relação a velocidade da superfície. Esse fenômeno é conhecido como condição de não-deslizamento.

v f l u i d o = v s u p

A camada de fluido que está parada interage com a camada vizinha logo acima, desacelerando o movimento dela. Essa segunda camada, por sua vez, acaba interagindo com a camada acima dela, retardando seu movimento e assim por adiante. Esse fenômeno de desaceleração das camadas vai se perdendo conforme a região fica mais afastada da superfície.

As camadas de fluido mais próximas da parede têm velocidades menores que as camadas mais afastadas. Isso é exatamente o que chamamos de gradiente de velocidades.

Beleza! Para entendermos isso melhor vamos dar uma olhadinha nesse esquema, onde temos um fluido escoando através de uma placa plana:

Como discutimos acima existe um gradiente de velocidade dentro da camada limite. A medida que nos afastamos da superfície, esta interfere cada vez menos na velocidade do fluido até chegar um ponto no qual o fluido esta tão longe da parede, que nem sente mais sua presença. Neste momento e o fluido volta a ter velocidade de corrente livre ( U ∞ ) e não estamos mais dentro da camada limite.

Quanto mais próximos estamos da superfície, maior é o gradiente de velocidade e por consequência as forças são bem importantes nessa região:

τ = - μ . d u d y

Pela imagem, a gente nota que o “tamanho” da camada-limite vai aumentando conforme o fluido escoa pela placa e isso ocorre, porque ao longo do escoamento mais camadas de fluido vão sendo desaceleradas. Com isso, a região em que as velocidades são diferentes de U ∞ aumenta.

Escoamento Laminar e Turbulento

A camada limite pode ser dividida em 3 regiões diferentes: laminar, de transição e turbulenta. No inicio do escoamento podemos observar um perfil de velocidade mais redondinho, nesse momento o escoamento laminar. A medida que a camada limite aumenta e o perfil de velocidade fica com uma aparência mais achatada e o escoamento começa a ficar desorganizado se tornando turbulento. Só que o escoamento não deixa de ser laminar e passa a ser turbulento de uma hora para outra! Então definimos uma região de transição que fica entre a região laminar e turbulenta.

Na imagem abaixo podemos observar melhor essas regiões:

Mas como descobrir em qual posição a transição vai ocorrer? Bom, isso depende das características do fluido e da geometria da superfície. Para isso vamos usar o número de Reynolds ( R e x ,   c r í t i c o ) ! Dizemos que a transição ocorre em um ponto crítico.

Para placas planas R e x ,   c r í t i c o = 5 × 10 5 e para achar o ponto crítico onde a transição ocorre, usamos a seguinte expressão:

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x c r i t μ

Para calcular R e x ,   c r í t i c o precisamos das seguintes propridedades do fluido: Densidade ( ρ ), velocidade ( V ) e viscosidade ( μ ). E o x c r i t é a posição da placa onde a transição ocorre.

Para um escoamento sobre uma esfera lisa R e D = 4 × 10 5

R e D = ρ . V . D μ

Onde D é o diâmetro da esfera.

E agora uma tabelinha com os valores de R e c r í t i c o :

Lembrando que para R e < R e x ,   c r í t i c o o escoamento é laminar e para R e > R e x ,   c r í t i c o o escoamento é turbulento!

Agora ta quase acabando!

Para fechar esse tópico com chave de ouro, vamos fazer um exemplo!

Ar atmosférico a 20 ℃ escoa sobre uma placa plana com velocidade de 30   m / s . Em qual ponto, a partir da borda da placa, começa o escoamento deixa de ser laminar?

Dados: ρ = 1,204 k g m 3 e μ = 1,81 × 10 - 5 .

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x c r i t μ

Considerando R e x ,   c r í t i c o = 5 × 10 5 , colocamos x c r i t em evidência e substituimos os dados:

x c r i t = 5 × 10 5 × 1,81 × 10 - 5 . 1,204 × 30

Então, o escoamento deixa de ser laminar no ponto x c r i t = 0,25 m .

Agora vamos colocar esses conhecimentos na prática!? Partiu exercitar!

Escoamento Laminar e Turbulento

Agora ta quase acabando!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um modelo de um rebocador fluvial deve ser testado em uma escala de 1 : 18 . O barco foi projetado para navegar a 3,5   m / s   em água doce a   10 ° C . Estime a distância a partir da proa em que a transição ocorre. Em que posição a transição deveria ser estimulada no modelo do rebocador?

Passo 1

Então, galera, vamos começar com um exemplo bem tranquilo. A ideia é fixar o conceito de transição do regime laminar para o turbulento e ver um pouquinho de scale-up de projetos.

Nós já vimos que para definir se um escoamento é turbulento ou não, utilizamos o número de Reynolds, que é definido por:

  R e x = ρ . U . x μ = U . x ν  

Em que U é a velocidade do escoamento, x é um comprimento característico da geometria, ρ é a densidade do fluido, μ é a viscosidade cinemática, ν é a viscosidade dinâmica (razão ente viscosidade cinemática e a densidade).

Nosso objetivo é determinar a distância mínima a partir da superfície da proa em que observamos a transição para turbulência (Reynolds crítico) no barco real. Devido à inviabilidade de analisar o barco em tamanho real, vamos estimar qual seria a posição para o caso de um modelo 18 vezes menor (escala 1:18).

Passo 2

No enunciado, temos informações quanto à velocidade do navio e, consequentemente, da superfície da proa e da temperatura da água.

A temperatura da água só nos é importante para buscar o valor correspondente da viscosidade do fluido. Assim temos:

ν = 1,30 . 10 - 6   m 2 . s - 1

Nós já vimos que, para placas planas, a transição para turbulência ocorre em torno do número de Reynolds igual a:

R e x = 5 . 10 5

Dessa maneira, temos somente x como variável:

x = R e x . ν U              

x r e a l = 5 . 10 5 . 1,30 . 10 - 6   m 2 . s - 1 ( 3,5   m . s - 1 )

Com isso, temos que:

x r e a l ≅ 0,186   m   ( 18,6   c m )

Passo 3

Agora vamos aplicar o scale-up do protótipo à escala real. É bem simples, temos que o modelo é 18 vezes menor que o barco real. Dessa maneira, espera-se que a distância obedeça a mesma proporção, logo:

x m o d e l o = x r e a l 18 ≅ 0,0103   m   ( 1,03   c m )

Resposta

x r e a l ≅ 0,186   m   ( 18,6   c m )

e

x m o d e l o ≅ 0,0103   m   ( 1,03   c m )

Exercício Resolvido #2

Uma estudante deve projetar um banco de ensaios experimentais envolvendo o arrasto de uma esfera através de um tanque contendo fluido para ilustrar ( a ) um escoamento creeping flow ( R e D   <   1 ) e ( b ) escoamento para o qual a camada-limite se torna turbulenta ( R e D   ≈   2,5 x 10 5 ) . Ela propõe utilizar uma esfera lisa com diâmetro de 1   c m escoamento através do óleo SAE 10 a temperatura ambiente. Isto é prático para os dois casos? Se para um caso não for prático, selecione uma alternativa razoável para o diâmetro da esfera e para um fluido comum para esse caso.

Passo 1

Bom, o enunciado pede para avaliarmos 2 (duas) situações:

  1. Escoamento com R e D < 1,0
  2. Escoamento com R e D = ~ 2,5 . 10 5

Nosso objetivo aqui é determinar se ambos os experimentos são práticos, ou seja, passíveis de serem realizados. Tá bem, mas como vejo isso?

Na prática, nós temos que ver se, para alcançar os valores solicitados de número de Reynolds, precisaremos submeter a esfera de 1,0   c m a velocidades muito baixas ou muito altas, o que inviabilizaria o experimento. Bora lá então!

Passo 2

No enunciado, temos informações quanto ao diâmetro da esfera, ao tipo de fluido (óleo SAE 10) e sabemos quais os valores de R e D precisamos alcançar.

Sabemos ainda que a viscosidade dinâmica do óleo a temperatura ambiente ( 20 o C ) é:

ν = 1,10 . 10 - 4   m 2 . s - 1

Dessa maneira, temos como calcular a velocidade que devemos impor a esfera, para alcançar tais números de Reynolds:

R e D = U . D ν                     U = R e D . ν D

Para o caso a), temos:

U = 1 . 1,10 . 10 - 4   m 2 . s - 1 0,01   m          

U = 0,011   m . s - 1

Esse é um valor super coerente, basta imaginar que a cada segundo a esfera se deslocará a uma distância igual a seu próprio diâmetro. Concluimos, portanto, que o caso a) é prático!

OBS:. Note que deveríamos avaliar para R e D < 1,0 e fizemos as contas para o limite superior. É claro que se quisermos valores de R e D muito baixos, o experimento também não se aplicaria.

Para o caso b), temos:

U = 2,5 . 10 5 . 1,10 . 10 - 4   m 2 . s - 1 0,01   m          

U = 2750   m . s - 1    

Olha esse valor! Isso é o mesmo que a esfera tenha uma velocidade de 9.900   k m . h - 1 , um avião super sônico chega a velocidade próximas de 2.500   k m . h - 1 , você acha que esse experimento é possível? Não mesmo, né!? Ahah

Passo 3

Como solicitado, temos que propor condições para as quais seja possível realizar o experimento do caso b). Você consegue pensar em alguma coisa bacana?

Bom, nós só temos livre duas informações: o diâmetro da esfera e o tipo de fluido. Poderíamos aumentar o diâmetro ou diminuir a viscosidade (ao usar outro fluido menos viscoso), ou até mesmo modificar ambos simultaneamente.

Podemos assumir uma velocidade que seja razoável (exemplo: 2   m . s - 1 ) para o experimento e ver que diâmetro de esfera possibilitaria esse valor, fixando o fluido como sendo o óleo:

D = R e D . ν U

D = 2,5 . 10 5 . 1,10 . 10 - 4   m 2 . s - 1 ( 2   m . s - 1 )

D = 0,1375   m   ( 13,75   c m )

Esses valores são coerentes e permitem a realização do experimento!

Resposta

Não, só é prático para o caso a). No entanto, se assumirmos uma esfera com diâmetro de 13,75 cm (por exemplo), será possível realizar o caso b) também!

Exercício Resolvido #3

(Adaptada) A extensão da camada-limite laminar sobre a superfície de uma aeronave varia com a altitude. Para uma dada velocidade, o comprimento da camada-limite laminar aumentará ou diminuirá com a altitude? Por quê? Trace um gráfico da razão entre o comprimento da camada-limite laminar em uma altitude z e o comprimento da camada-limite ao nível do mar, como função de z, até a altitude de z = 30 km, para a atmosfera-padrão.

Passo 1

Ei, jovem padawan! Vamos ver até onde essa camada-limite laminar vai. o/

Bem, para isso, vamos analisar qual é o Reynolds crítico, que no escoamento externo é esse camarada aqui

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x μ

O exercício tá querendo saber o comportamento de x conforme a altitude varia. x é a posição onde a camada-limite deixa de laminar e passa a ser turbulenta. É justamente a extensão da camad-limite laminar :D

x = μ ρ R e x ,   c r í t i c o V

No nosso exemplo, a altitude varia, mas o Reynolds crítico e a velocidade estão fixos. Ok! Mas o que a altitude tem a ver com isso?

Bem, quando a altitude (que vamos chamar aqui de z) muda, a temperatura do ar muda. A nível do mar estamos a mais ou menos 20°C, mas lá aos 30 km de altitude, a temperatura pode chegar aos -50°C. Um pouquinho frio, né? Hahaha

O coração do exercício é: a massa específica ρ e a viscosidade μ dependem da temperatura! Quanto maior a altitude, menor a temperatura e menor será ρ e μ (pois é um gás). Com isso, a extensão da camada-limite laminar vai mudar. Mas como?

Então, essa é uma ótima pergunta. Para responder, vamos atrás de dados empíricos da massa específicos (vamos consultar uma tabela) e atrás de uma correlação para a viscosidade com a temperatura.

Usando a equação de Sutherland para o ar:

μ = 1,46 × 10 - 6   T 1 / 2 1 + 110,4 T

Considerando os valores de referência os valores ao nível do mar, montamos a seguinte tabela:

Com ela, conseguimos confirmar que a massa específica e a viscosidade diminuem com a altitude, porém com um detalhe: a massa específica decresce mais rapidamente. Como o comprimento da camada-limite é inversamente proporcional à massa específica, o comprimento aumenta com a altitude

x = μ ρ R e x ,   c r í t i c o V

Podemos ver isso melhor no gráfico

Então a extensão da camada-limite laminar aumenta com a altitude 😉

Resposta

Comprimento da camada-limite laminar aumenta com a altitude, pois a massa específica diminui mais rapidamente que a viscosidade com a diminuição da temperatura

Exercício Resolvido #4

(Adaptada) A velocidade de decolagem de um Boeing 757 é 260 km/h. A que distância aproximadamente a camada-limite sobre as asas se tornará turbulenta?

Dados: ρ a r = 1,29 k g m 3 , μ a r = 1,82 × 10 - 5 k g m . s

Passo 1

Olá! Nosso estudo está prestes a decolar e o exercício quer saber: “qual é a distância em que o escoamento externo do ar na camada limite sobre as asas passará de laminar a turbulento?”

O fluido que está escoando é o ar e ele escoa ao redor das asas do avião. Para saber em qual ponto o escoamento se torna turbulento, vamos calcular o Reynolds crítico.

Além disso, como se trata de um escoamento externo, o Reynolds crítico vai depender da geometria do obstáculo (no caso, o obstáculo para o escoamento do fluido é a asa avião). O valor de 2300 serve só para dutos! Ou seja, escoamento interno.

Daí, você pode estar se perguntando... Qual será exatamente a geometria da asa? O enunciado não disse, né. :/ Aliás, disse que o avião é um Boeing. Que é esse carinha aqui:

Para decidir qual será o valor do Reynolds crítico, vamos comparar essa imagem com a nossa tabela

Vamos utilizar Reynolds crítico igual a 5,0.10 5 , pois vamos considerar que o escoamento do ar externo a asa do avião é mais parecido com o escoamento do ar sobre uma placa plana! Combinado?

Uma vez obtido o número de Reynolds crítico, vamos as contas!

Passo 2

A fórmula do Reynolds no escoamento externo é essa aqui:

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x μ

Sendo x justamente a distância que queremos saber: onde o escoamento se torna turbulento

Do enunciado, conhecemos a massa específica e a viscosidade do ar. Do passo 1, encontramos o Reynolds crítico. Precisamos agora passar a velocidade para o Sistema Internacional de Unidades.

V = 260   k m h 1   h 3600   s 1000   m 1   k m

V = 72,2   m s

Agora sim, substituindo os valores:

5 . 10 5 = 1,29   .   72,2   . x 1,82   . 10 - 5

x = 0,097   m  

A distância em que a camada-limite sobre as asas se torna turbulenta é aproximadamente 0,097 metros.

Resposta

x = 0,097   m

Exercício Resolvido #5

Uma placa de madeira tipo compensado com dimensões de 1   m   ×   2   m é colocada no topo de seu carro após ser comprada em uma loja de equipamentos. A que velocidade (em km/h no ar a 20°C) a camada-limite começará a ficar turbulenta? E em que velocidade a camada-limite é 90% turbulenta?

Dados: ρ a r = 1,29 k g m 3 , μ a r = 1,82 × 10 - 5 k g m . s

Passo 1

Fala, aí! A primeira pergunta do exercício quer saber a velocidade numa situação crítica: quando o escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento. Como se trata de escoamento externo, precisamos definir valor de Reynolds crítico usar.

O escoamento do ar acontece numa placa de madeira (compensado). Ou seja, vamos considerar que a geometria é de uma placa plana lisa. Então:

R e x ,   c r í t i c o = 5 × 10 5

Além disso, vimos na teoria que para o escoamento externo, essa equação é válida:

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x μ

Então vamos substituir as informações do enunciado e o que acabamos de descobrir:

5 × 10 5 = 1,29 . V . x 1,82 × 10 - 5

Quem seria o x, ou seja, a posição onde o escoamento sofre a transição de laminar para turbulento?

Vamos considerar que a placa foi colocada de tal forma que seu maior lado foi colocado na direção do movimento. Com isso, vamos assumir que esse ponto crítico x será no final do lado maior da placa, ou seja, x = 2.

Ali é onde ela vai começar a ficar turbulenta, que é justamente a condição do enunciado.

Assim, é possível calcular a velocidade

5 × 1,82 = 1,29 × V × 2

V = 3,53   m / s  

O exercício pediu a velocidade em km/h. Convertendo:

V = 3,53   m s 3600   s 1   h 1   k m 1000   m

V = 12,7   k m h

Passo 2

O exercício também pede a velocidade em que 90% da camada-limite é turbulenta.

A camada-limite está ao longo da placa, que tem 2 m de diâmetro. Para que 90% dela seja turbulenta, o ponto x crítico (onde a camada muda de laminar para turbulenta) deve ser nos primeiros 10% de comprimento da placa. Em matematiquês:

x = 0,1 × 2 = 0,2   m

Substituindo

R e x ,   c r í t i c o = ρ . V . x μ

5 × 10 5 = 1,29 . V . 0,2 1,82 × 10 - 5

V = 35,3   m / s

É 10 vezes a velocidade anterior, logo

V = 127   k m h

Resposta

Situação 1

V = 12,7   k m h

Situação 2

V = 127   k m h

Exercício Resolvido #6

Para o escoamento em torno de uma esfera a camada-limite se torna turbulenta aproximadamente a R e D ≈ 2,5 × 10 5 . Determine a velocidade na qual (a) uma bola de golfe norte-americana D = 43   m m , uma bola de golfe britânica D = 4 1,1   m m e (c) uma bola de futebol D = 222   m m desenvolvem camadas-limite turbulentas. Considere as condições atmosféricas padrão.

Dados: ρ a r = 1,29 k g m 3 , μ a r = 1,82 × 10 - 5 k g m . s

Passo 1

A velocidade em que se desenvolve camada-limite turbulenta é calculada pelo Reynolds crítico. O enunciado facilitou nossa vida já mostrando qual o R e c r í t i c o para o escoamento ao redor de uma esfera.

R e D ,   c r í t i c o = 2,5 × 10 5

Estamos fazendo a consideração de todas as bolas analisadas são esféricas. Beleza? 😊

Então a fórmula do Reynolds no caso do escoamento externo em esfera lisa é

R e D ,   c r í t i c o = ρ . V . D μ

Isolando a velocidade

V = μ   R e D ,   c r í t i c o ρ   D

A viscosidade, a massa específica e o Reynolds crítico é o mesmo para os três casos, pois o fluido é o mesmo (ar) e a geometria do obstáculo é a mesma (esférica). Substituindo:

V = 1,82 × 10 - 5 ×   2,5 × 10 5 1,29   D

V = 3,53 D

Como cada bola tem um diâmetro diferente, cada uma terá sua velocidade.

Passo 2

Para a bola de golfe norte-americana D = 43   m m = 0,043   m

V g o l f e   n o r t e - a m e r i c a n a = 3,53 0,043

V g o l f e   n o r t e - a m e r i c a n a = 82,1   m / s

Para a bola de golfe britânica D = 4 1,1   m m = 0,04 11   m

V g o l f e   b r i t â n i c a = 3,53 0,04 11

V g o l f e   b r i t â n i c a = 8 5 , 9   m / s

Para a bola de futebol D = 222   m m = 0 , 222   m

V b o l a   f u t e b o l = 3,53 0 , 222

V b o l a   f u t e b o l = 1 5,9   m / s

Encontramos as velocidades críticas para os três tipos de bola

Resposta

(a)   V g o l f e   n o r t e - a m e r i c a n a = 82,1   m / s

(b) V g o l f e   b r i t â n i c a = 85,9 m s