Força de Arrasto

Teoria Completa

Introdução

Fala, mestre! Bora desvendar os mistérios do famoso arrasto aqui e agora, partiu?

A gente já viu que a interação do fluido com a superfície gera o que chamamos de camada-limite. A camada-limite nada mais é do que a região mais próxima da parede, onde as forças viscosas são relevantes e, por isso, é onde vemos a maior resistência ao escoamento.

Essas forças viscosas são as responsáveis pelo perfil de velocidades que já vimos anteriormente:

Essa imagem aqui em cima mostra um exemplo de escoamento sobre uma placa plana horizontal, mas existem diversas “caras” para o perfil de velocidade. Isso vai depender da geometria do objeto basicamente.

Mas em todos os casos, a gente vê que, quando o fluido interage com a superfície, surgem as chamadas tensões de cisalhamento ( τ ) e tensões normais ( p ).

Mas você lembra o que é uma tensão? Tensão é a razão entre uma força sobre uma determinada área:

T e n s ã o = F o r ç a Á r e a

“Po, mas essa não é a definição de pressão? É a mesma coisa então?” Quase! Mas existe uma diferença entre elas:

  • Tensão: é uma forma mais geral, em que a gente avalia uma força em qualquer direção.
  • Pressão: a força deve ser necessariamente normal à superfície na qual é aplicada, ou seja, a pressão é uma tensão normal.

A tensão normal ( p ) pode ser encarada exatamente como uma pressão, porque ela se refere às forças que atuam perpendicularmente às superfícies. Já a tensão de cisalhamento ( τ ) é um pouco diferente, porque ela atua na direção paralela à área onde é aplicada.

No esquema, a gente consegue perceber melhor como que funciona o cisalhamento. Aplicamos uma força paralela à área do fluido e ele acaba escoando.

Bom, entendido o que são essas tensões, a gente pode classificar as respectivas forças:

  • Força de Arrasto ( F D ): representa a componente paralela ao escoamento.
  • Força de Sustentação ( F L ): representa a componente perpendicular ao escoamento.

Nesse tópico a gente vai focar nessa primeira: a força de arrasto! Então, bora lá!

Força de Arrasto

A força de arrasto ( F D ) é composta por duas componentes:

A r r a s t o   d e   A t r i t o + A r r a s t o   d e   P r e s s ã o

O arrasto de atrito é relativo ao efeito das forças viscosas na camada-limite e o arrasto de pressão é relativo às diferenças de pressão ao longo do escoamento. Bora ver essa parada direitinho!

Arrasto de Atrito

Quando o fluido escoa sobre uma superfície, o movimento das moléculas na região perto da parede é desacelerado. A gente pode entender a resistência ao escoamento como se houvesse uma força de atrito entre o fluido e a parede, parecido com o atrito que vemos na Física em Mecânica.

Pra facilitar, imagine um corpo que tenta se mover através de um fluido, como uma bola de futebol voando até o gol depois de um chute. A bola terá seu movimento dificultado porque o fluido interage com a sua superfície.

Mas você também pode pensar na situação contrária, em que o objeto está parado e o fluido escoa sobre ele. Nesse último caso, a força de atrito será a responsável por arrastar o objeto como mostrado abaixo:

As forças geradas pela tensão de cisalhamento causam o arraste do objeto, como indicado na figura. Esse fenômeno é denominado de arrasto por atrito. Uma observação importante é que, quanto mais “lento” for o fluxo e mais lisa for a superfície, menos expressivo será o arrasto por atrito.

Arrasto de Pressão

Quando um fluido escoa sobre uma esfera, por exemplo, ele exerce uma determinada pressão na parte dianteira, onde ocorre o choque do fluido com a esfera. A pressão exercida sobre ela é máxima no ponto central e diminui ao longo da superfície. Já a parte traseira da esfera não está sofrendo o impacto do fluido, então apresenta uma pressão menor.

Dessa forma, o objeto tem uma região de alta pressão na parte dianteira (impacto do fluido) e outra de baixa pressão na parte traseira (região de esteira), gerando uma força da esquerda para a direita, na figura, que “arrasta” a esfera. Esse fenômeno �� o arrasto de pressão.

Coeficiente de Arrasto

Em resumo, a intensidade do arrasto depende da forma do objeto e das características do escoamento. Para quantificarmos a influência do tipo de geometria na força de arrasto, a gente define um número adimensional chamado de coeficiente de arrasto ( C D ). Ele caracteriza cada tipo de geometria, atribuindo um determinado valor adimensional, que nos dá a noção do quão “forte” é o arrasto.

Esse coeficiente de arrasto leva em consideração tanto o arrasto de atrito, quanto o de pressão e pode ser definido matematicamente como a razão entre a força real a que um objeto é submetido ao escoar por um fluido ( F D ) e a força necessária para interromper seu movimento (levar o objeto de uma velocidade V até o repouso):

C D = F D 1 2 . ρ . V 2 . A

Sendo assim, esperamos que, quanto maior o valor de C D para uma geometria, maior será a força de arrasto - fixadas as condições de escoamento ( ρ e V ).

Na equação, a área ( A ) se refere à área projetada na direção paralela ao escoamento. “Como assim?”

No exemplo de uma partícula esférica, a área que utilizamos no cálculo é a área do círculo projetada como ilustrado abaixo e não a área total de uma esfera:

Então, para uma esfera de raio R , o termo será:

A = π . R ²

Mas a gente não trabalha só com esferas, não é mesmo? Existem várias geometrias e, para cada uma delas, teremos um coeficiente de arrasto ( C D ) diferente. Abaixo verificamos valores de coeficiente de arrasto para diversos objetos submetidos a um regime com R e > 10 3 :

Essa tabela lista alguns tipos de geometria mais usuais, indicando os valores respectivos do coeficiente de atrito. Ela será bastante útil na resolução de exercícios envolvendo arrasto.

Mas tenha em mente que existem outros tipos de geometria e podemos calcular o C D delas por medidas experimentais.

Agora que já entendemos um pouco mais sobre o arrasto, responde aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P.J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

A componente vertical da velocidade de aterrissagem de um paraquedas deve ser inferior a 6   m . s - 1 . A massa total do paraquedas com o paraquedista é 120   k g . Determine o mínimo diâmetro do paraquedas aberto.

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Passo 1

Fala, galera! Vamos agora fazer um projeto e paraquedas, pra não cair de cara na prova. Ahah

Bom, antes de começarmos a calcular qualquer coisa do problema, precisamos entender bem a situação. O enunciado traz um sistema composto por paraquedista e seu paraquedas (cuja massa é conhecida e igual a m = 120   k g ).

Sabemos que na queda, além da força peso ( W ), também verificamos a força de arrasto ( F D ) causada pelo ar, como observamos abaixo:

Nessa situação, consideramos o paraquedas como um hemisfério (com extremidade aberta – côncava – para o escoamento), cujo diâmetro precisamos determinar.

Como a velocidade da queda é constante ( 6,0   m . s - 1 ), podemos considerar que o movimento é uniforme e, portanto, a soma das forças deve ser igual a zero.

Passo 2

Vamos, então, calcular as forças envolvidas! O peso ( W ) será igual a:

W = m . g

W = 120   k g . 9,81   m . s - 2

W = 1177,2   N

Já a força de arrasto ( F D ) é dada pela expressão:

F D = C D . 1 2 . ρ . V 2 . A

Para esse tipo de geometria, vemos na tabela que o coeficiente de arrasto ( C D ) é dado por:

C D = 1,42

Já sabemos a densidade do ar ( 1,2   k g . m - 3 ) e a velocidade ( 6,0   m . s - 1 ), logo a área é nossa única incógnita. Como as forças se anulam, podemos escrever que:

W = F D = C D . 1 2 . ρ . V 2 . A

Isolando a área:

A = F D C D . 1 2 . ρ . V 2

E substituindo essa galera:

A = 1177,2   N 1,42 . 1 2 . 1,2   k g . m - 3 . 6,0   m . s - 1 2

A = 38,4   m ²

OBS: Note que avaliar o sistema paraquedista-paraquedas em movimento descendente (pra baixo) no ar “parado” é equivalente a avaliar o sistema paraquedista-paraquedas parado e o ar em movimento ascendente (pra cima). Isso está atrelado ao conceito físico de velocidade relativa.

Passo 3

A escolha da área nesse momento é um ponto crucial. Qual área vamos utilizar?

Você poderia pensar o seguinte: “Bom, a área de um hemisfério é metade da área e uma esfera, então eu jogo essa expressão!”. Pois é, mas daria errado! Mas por quê?

A área que interessa é somente a área perpendicular ao escoamento. Esse pensamento é análogo ao que fazemos para calcular a pressão sobre uma área não-uniforme, nós só pegamos a componente normal à força.

Se considerássemos a componente paralela, estaríamos avaliando o movimento lateral do paraquedas, ou seja, se ele estaria indo para a esquerda ou direita. Como estamos interessados no movimento vertical (queda), só é importante pra gente a área da projeção ilustrada na imagem abaixo:

Temos que o diâmetro do círculo na projeção é o mesmo diâmetro do paraquedas. Portanto, podemos escrever:

A = π . D m í n 2 4

D m í n = 4 . 38,4   m 2 π

D m í n = 7,0   m

OBS: Sempre aproximaremos o diâmetro “para cima”, pois sabemos que mantidas as demais condições, quanto maior o diâmetro, maior será a área do paraquedas e, consequentemente, maior será a força de arrasto. Se fosse menor que esse diâmetro, observaríamos que: W > F D .

Resposta

D m í n = 7,0   m

Exercício Resolvido #2

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P.J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

Um rebocador de barcaças fluviais é testado em um tanque de provas. O modelo do rebocador é construído em uma razão de escala de 1:13,5. As dimensões do modelo são: comprimento total 3,5 m, través 1 m e calado 0,2 m. (O deslocamento do modelo em água doce é 5500 N.) Estime o comprimento médio da superfície molhada do casco. Calcule a força de arrasto de atrito superficial no protótipo a uma velocidade de 3,601 m/s com relação à água.

Dica: Assuma o rebocador como um paralelepípedo de dimensões 3,5 m:1,0 m:0,2 m.

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Passo 1

Para simplificar, vamos assumir que o rebocador é um paralelepípedo.

Sabemos o comprimento total do sistema ( L t o t ), mas para encontrarmos o comprimento submerso do protótipo do rebocador, podemos utilizar o conceito de empuxo.

Como o rebocador boia, o resultado das forças que empurram ele pra cima e que empurram ele pra baixo tem que ser iguais.

Pra baixo a gente tem o próprio peso do rebocador. Pra cima, temos o empuxo.

∑ F → = W → + P → = 0

W → = - P →

E o módulo do empuxo é dado por:

W = ρ . g . V s u b m e r s o

O volume é a multiplicação das três dimensões:

W = ρ . g . ( L s u b m . L t r a v é s . L c a l a d o )

L s u b m p r o t . = ( 5500   N ) 1000   k g . m - 3 . ( 9,81   m . s - 1 ) . 0,2   m . 1   m

L s u b m p r o t . = 2,8   m

Passo 2

Se a proporção com o protótipo e o real é de 1 : 1 3,5 , teremos o equivalente na geometria do rebocador real equivalente a:

L s u b m p r o t . L s u b m r e a l = 1 13,5

L s u b m ( r e a l ) = 37,9   m

Passo 3

Nós vimos que o coeficiente de arrasto ( C D ) pode ser expresso por:

C D = F D 1 2 . ρ . V 2 . A

Sabemos ainda que existem expressões para o cálculo de C D em cada faixa de R e L , então vamos inicialmente calcular o número de Reynolds para sabermos qual expressão é a mais adequada para este escoamento:

R e L = U . L ν

R e L = ( 3,601   m . s - 1 ) . 37,9   m 1,30 . 10 - 6   m 2 . s - 1

R e L = 1,05 x 10 8

Assim concluímos que o coeficiente de arrasto ( C D ) pode ser calculado por:

C D = f R e L = 0,455 [ log ⁡ R e L ] 2,58 - 1610 R e L

C D = 0,0021

A área pode ser calculada por:

A = 13,5 2 . L s u b m p r o t . . L c a l a d o + 2 . L t r a v é s

A = 716   m ²

Portanto:

F D = C D . 1 2 . ρ . V 2 . A