Teoria Completa
Escoamento viscoso em dutos e o número de Reynolds
E aí futuro aprovado, tudo certinho?
Então, sabe o encanamento da sua casa? É dele que a gente vai falar hoje.
Calma calma, não vamos resolver aquela infiltração ou aquele vazamento, segura a onda.
Vou te mostrar como o pessoal da Mecânica dos Fluidos começou a estudar escoamentos dentro de dutos, canos etc. Até vamos adicionar válvulas, curvas no nosso encanamento no final do próximo capítulo.
Vamos lá, chega mais!
A história toda começou quando um cara chamado Osborne Reynolds em 1883 viu que o comportamento de fluidos escoando dentro de um duto dependia de um fator adimensional que ganhou o nome do fera, o famoso número de Reynolds:
Onde,
é a massa específica do fluido;
é a viscosidade dinâmica;
é a velocidade no centro do escoamento;
E é o diâmetro do duto. O número de Reynolds está sempre relacionado a alguma forma de distância, no nosso caso é o diâmetro.
Tá, e o que esse número diz?
Ele diz se o escoamento é laminar, transitório ou turbulento.
Se liga nessa imagem:
Esse foi o experimento realizado por Reynolds, ele colocou um fluido incompressível como a água com um filete de corante e olhou o comportamento do fluido conforme ele aumentava a velocidade do escoamento.
A letra a gente ve um fluido em regime laminar, ou seja, as propriedades estão bem regulares, sem flutuações nos movimentos das partículas.
Em as coisas ficam diferentes, nesse caso houve um aumento de velocidade e fez com que as partículas fluidas se comportassem de maneira desordenada, chamamos isso de escoamento turbulento.
A figura mostra um estado instantâneo da figura . Perceba que as partículas adquirem trajetórias pouco regulares, movimentos rotacionais, às vezes vão para traz, às vezes rodam.
Mas por que a gente usa como parâmetro e não a velocidade?
No caso do experimento os dois escoamentos envolviam o mesmo fluido, ou seja, as mesmas propriedades e , enquanto a velocidade variava.
Para a gente generalizar para qualquer fluido a gente usa o número de Reynolds.
Imagina a situação:
Colocar ar a 180 km/h e água a 180 km/h.
O primeiro caso é um furacão, então imagina então um furacão de água, que é 1000 vezes mais “pesada” que o ar, sem falar que é bem mais viscosa.
O número de Reynolds padroniza nossos escoamentos para que a gente não precise estudar cada caso em separado.
Consideramos que um escoamento é laminar para . Qualquer valor acima é um escoamento que está transitando para a turbulência ou é turbulento. Mas atenção! Esse valor muda um pouco dependendo da bibliografia. Alguns atores adotam 2100. Outros preferem dizer que entre 2000 e 2400 o escoamento não pode ser caracterizado nem como laminar nem como turbulento. O melhor é saber qual valor o seu professor adota, combinado?
Perda de carga, o fator de atrito
Prosseguindo nossos “esdutos”...estudos (por essa vocês não esperavam hehe), se lembra da Equação da Energia? Essa carinha aí:
Ela relaciona as propriedades do fluido na entrada do volume de controle com a saída mais um valor que chamamos de perda de carga.
Essa perda de carga é nada mais nada menos que o quanto de energia que o escoamento perde por causa de atrito com a superfície do duto.
Ela é dada pela expressão:
são respectivamente, o comprimento do duto, diâmetro do duto, velocidade do escoamento e a aceleração da gravidade.
é o que chamamos de fator de atrito que relaciona e a rugosidade da parede.
No caso laminar podemos escrever esse fator como:
Ué mas e a rugosidade?
Em escoamentos laminares o efeito do número de Reynolds é muito maior que o efeito da rugosidade, daí a gente simplifica a expressão, quando formos estudar os escoamentos turbulentos veremos outra expressão para esse fator.
Agora vamos lá praticar um cadinho.
Exercício Resolvido #1
Para o escoamento de óleo por um tubo de de diâmetro, Figura A.1, para qual vazão em devemos esperar transição para a turbulência a e ?
Figura 1. Viscosidade absoluta de fluidos comuns a 1 atm.
Passo 1
Nesse exercício devemos aplicar aquele número de Reynolds , que caracteriza a transição do escoamento laminar para o turbulento, lembra?
Sabemos que:
Do gráfico encontramos o valor de :
Olhando valores tabelados de massa específica:
O enunciado ainda fornece o valor do diâmetro:
Passo 2
Substituindo na expressão de , para :
Para :
Passo 3
Substituindo na fórmula da vazão , sendo
:
:
Resposta
Letra a)
Letra b)
Exercício Resolvido #2
Água a escoa por um tubo inclinado de de diâmetro. Nas seções e são obtidos os seguintes dados: , , , , e . Qual é o sentido do escoamento? Qual é a perda de carga em metros?
Passo 1
Podemos ver que o enunciado nos dá as propriedades em dois pontos do tubo e , com as seguintes propriedades:
Além disso o fluido é água, logo a massa específica é
Passo 2
Para determinarmos o sentido do escoamento vamos comparar cada lado da Equação da Energia:
Como os termos de velocidade de ambos os lados se cancelam:
Podemos dizer que o fluido vai de , pois há mais carga ou pressão em .
Passo 3
Para calcularmos o fator de perda de carga basta terminarmos de resolver a expressão do Passo 2:
Resposta
Escoamento vai de e.
Exercício Resolvido #3
Um canudo para refrigerante tem de comprimento e de diâmetro. Ele fornece refrigerante gelado, aproximado como água a , à taxa de . (a) Qual é a perda de carga através do canudo? Qual é o gradiente de pressão axial se o escoamento é (b) verticalmente para cima ou (c) horizontal? O pulmão humano pode fornecer tanta vazão?
Passo 1
Outro exercício que temos um duto/canudo com escoamento viscoso.
Temos as seguintes informações do enunciado:
Passo 2
Devemos agora calcular a perda de carga da água passando pelo canudo:
Desta fórmula não conhecemos nem .
Podemos calcular a partir da vazão e da área
Calculamos então o fator de atrito :
Substituindo em :
Passo 3
Usando a equação da Energia no caso vertical, com fluxo para cima, sendo de :
Podemos supor que , que dependem do nosso referencial;
Que ;
Substituindo,
Podemos multiplicar ambos os lados por :
O enunciado nos pede , que podemos aproximar por
Substituindo na equação, ou seja, dividindo ambos lados por :
Passo 4
Realizando o mesmo procedimento do Passo 3, mas agora com :
Dividindo por :
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)
Exercício Resolvido #4
A fim de determinar a viscosidade de um líquido de densidade 0,95, você preenche, a uma profundidade de 12 cm, um grande recipiente com drenagem por um tubo vertical de 30 cm de comprimento fixado ao fundo. O diâmetro do tubo é 2 mm, e a taxa de drenagem é 1,9 cm³/s. Qual é o valor da viscosidade do fluido? O escoamento no tubo é laminar?
Passo 1
Neste exercício não temos uma imagem para nos ajudar, portanto vamos esquematizar o problema.
A superfície de entrada é a do topo do tanque e a de saída o tubo final.
Isso nos dá os seguintes valores de entrada e saída que usaremos na nossa equação da energia:
Mas por quê ?
Isso é válido para qualquer superfície de controle que apesar de ter uma vazão , temo uma área tão grande que a velocidade que a superfície se move é desprezível.
No caso de , estamos trabalhando com pressão manométrica e não a absoluta. Caso fossemos trabalhar com a absoluta utilizaríamos a pressão atmosférica.
Para a sáida temos:
Um líquido ter densidade significa:
Supondo que
Passo 2
Vamos então calcular e substituir os valores do Passo 1, na equação da energia:
Dada a equação da energia:
Substituímos o que já conhecêmos:
Logo,
Passo 3
Devemos lembrar da expressão da perda de carga
Em que,
Como não sabemos se o escoamento é laminar ou não vamos calcular o número de Reynolds, que deve ser menor que no caso laminar:
Logo,
Curiosamente quase todos líquidos se encontram acima deste valor de viscosidade. Normalmente, apenas gases tem viscosidades menores que este valor. Portanto para quase todo líquido este escoamento é laminar.
Obs: Isso não é uma informação que você devia ter nascido junto, fica tranquilo. Mas é bom a gente começar a entender as ordens de grandeza de viscosidade. Gases são , líquidos , mais ou menos em torno disso.
Portanto podemos utilizar a expressão que conhecemos para o fator de atrito:
Substituindo na expressão da perda de carga:
Rearranjando em função de :
Substituindo os valores, sendo :
Como já tinhamos hipotetizado o escoamento como sendo laminar, confirmamos a hipóstese:
Escoamento laminar.
Resposta
Escoamento é laminar.
Exercício Resolvido #5
Uma compressão constante sobre o pistão na Figura produz uma vazão através da agulha. O fluido tem e . Qual a força necessária para manter o escoamento?
Passo 1
Então galera, mais uma vez aplicaremos a equação da energia e veremos o que nos falta para resolver o problema:
Neste caso a perda de carga fica do lado 1, pois é a “saída” do escoamento.
Podemos dizer que não há variação na altura dos cilíndros, logo :
Pela expressão podemos encontrar quanto valem nossa velocidades em cada parte do escoamento:
Passando e para o Sistema Internacional:
Substituindo na equação: