Escoamento Laminar e Turbulento e Perda de Carga

Teoria Completa

Escoamento viscoso em dutos e o número de Reynolds

E aí futuro aprovado, tudo certinho?

Então, sabe o encanamento da sua casa? É dele que a gente vai falar hoje.

Calma calma, não vamos resolver aquela infiltração ou aquele vazamento, segura a onda.

Vou te mostrar como o pessoal da Mecânica dos Fluidos começou a estudar escoamentos dentro de dutos, canos etc. Até vamos adicionar válvulas, curvas no nosso encanamento no final do próximo capítulo.

Vamos lá, chega mais!

A história toda começou quando um cara chamado Osborne Reynolds em 1883 viu que o comportamento de fluidos escoando dentro de um duto dependia de um fator adimensional que ganhou o nome do fera, o famoso número de Reynolds:

R e d = ρ V d μ

Onde,

ρ é a massa específica do fluido;

μ é a viscosidade dinâmica;

V é a velocidade no centro do escoamento;

E d é o diâmetro do duto. O número de Reynolds está sempre relacionado a alguma forma de distância, no nosso caso é o diâmetro.

Tá, e o que esse número diz?

Ele diz se o escoamento é laminar, transitório ou turbulento.

Se liga nessa imagem:

Esse foi o experimento realizado por Reynolds, ele colocou um fluido incompressível como a água com um filete de corante e olhou o comportamento do fluido conforme ele aumentava a velocidade do escoamento.

A letra ( a ) a gente ve um fluido em regime laminar, ou seja, as propriedades estão bem regulares, sem flutuações nos movimentos das partículas.

Em ( b ) as coisas ficam diferentes, nesse caso houve um aumento de velocidade e fez com que as partículas fluidas se comportassem de maneira desordenada, chamamos isso de escoamento turbulento.

A figura ( c ) mostra um estado instantâneo da figura ( b ) . Perceba que as partículas adquirem trajetórias pouco regulares, movimentos rotacionais, às vezes vão para traz, às vezes rodam.

Mas por que a gente usa R e como parâmetro e não a velocidade?

No caso do experimento os dois escoamentos envolviam o mesmo fluido, ou seja, as mesmas propriedades ρ   e μ , enquanto a velocidade variava.

Para a gente generalizar para qualquer fluido a gente usa o número de Reynolds.

Imagina a situação:

Colocar ar a 180 km/h e água a 180 km/h.

O primeiro caso é um furacão, então imagina então um furacão de água, que é 1000 vezes mais “pesada” que o ar, sem falar que é bem mais viscosa.

O número de Reynolds padroniza nossos escoamentos para que a gente não precise estudar cada caso em separado.

Consideramos que um escoamento é laminar para R e d < 2300 . Qualquer valor acima é um escoamento que está transitando para a turbulência ou é turbulento. Mas atenção! Esse valor muda um pouco dependendo da bibliografia. Alguns atores adotam 2100. Outros preferem dizer que entre 2000 e 2400 o escoamento não pode ser caracterizado nem como laminar nem como turbulento. O melhor é saber qual valor o seu professor adota, combinado?

Perda de carga, o fator de atrito

Prosseguindo nossos “esdutos...estudos (por essa vocês não esperavam hehe), se lembra da Equação da Energia? Essa carinha aí:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Ela relaciona as propriedades do fluido na entrada do volume de controle com a saída mais um valor h p que chamamos de perda de carga.

Essa perda de carga é nada mais nada menos que o quanto de energia que o escoamento perde por causa de atrito com a superfície do duto.

Ela é dada pela expressão:

h p = f L d V ² 2 g

L ,   d ,   V ,   g são respectivamente, o comprimento do duto, diâmetro do duto, velocidade do escoamento e a aceleração da gravidade.

f é o que chamamos de fator de atrito que relaciona R e d e a rugosidade da parede.

No caso laminar podemos escrever esse fator como:

f = 64 R e d

Ué mas e a rugosidade?

Em escoamentos laminares o efeito do número de Reynolds é muito maior que o efeito da rugosidade, daí a gente simplifica a expressão, quando formos estudar os escoamentos turbulentos veremos outra expressão para esse fator.

Agora vamos lá praticar um cadinho.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Para o escoamento de óleo S A E   30 por um tubo de 5   c m de diâmetro, Figura A.1, para qual vazão em m 3 / h devemos esperar transição para a turbulência a a   20 ℃ e b   100 ℃ ?

Figura 1. Viscosidade absoluta de fluidos comuns a 1 atm.

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Passo 1

Nesse exercício devemos aplicar aquele número de Reynolds R e d = 2300 , que caracteriza a transição do escoamento laminar para o turbulento, lembra?

Sabemos que:

R e d = ρ V d μ

Do gráfico encontramos o valor de μ :

μ 20 ℃ = 0,25   N . s / m ²

μ 100 ℃ = 0,01   N . s / m ²

Olhando valores tabelados de massa específica:

ρ = 891   k g / m ³

O enunciado ainda fornece o valor do diâmetro:

d = 5   c m = 0,05   m

Passo 2

Substituindo na expressão de R e d , para 20 ℃ :

R e d = ρ V d μ

2300 = 891 . V . ( 0,05 ) ( 0,25 )

V = 12,91   m / s

Para 100 ℃ :

R e d = ρ V d μ

2300 = 891 . V . ( 0,05 ) ( 0,01 )

V = 0,52   m / s

Passo 3

Substituindo na fórmula da vazão Q = V A , sendo A = π d ² 4

20 ℃ :

Q = V A

Q = 12,91 . π ( 0,05 ) ² 4

Q = 0,025 m 3 s = 91,25 m 3 h

100 ℃ :

Q = V A

Q = ( 0,52 ) . π 0,05 2 4  

Q = 1,02 . 10 - 3 m 3 s = 3,68 m 3 h

Resposta

Letra a)

Q = 91,25 m 3 h

Letra b)

Q = 3,68 m 3 h

Exercício Resolvido #2

Água a 20 ℃ escoa por um tubo inclinado de 8   c m de diâmetro. Nas seções A e B são obtidos os seguintes dados: p A = 186   k P a , V A = 3,2   m / s , z A = 24,5   m , p B = 260   k P a , V B = 3,2   m / s e z B = 9,1   m . Qual é o sentido do escoamento? Qual é a perda de carga em metros?

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Passo 1

Podemos ver que o enunciado nos dá as propriedades em dois pontos do tubo A e B , com as seguintes propriedades:

A p A = 186   k P a = 186000   P a V A = 3,2   m / s z A = 24,5   m

B p B = 260   k P a = 260000   P a V B = 3,2   m / s z B = 9,1   m

Além disso o fluido é água, logo a massa específica é ρ = 1000   k g / m ³

Passo 2

Para determinarmos o sentido do escoamento vamos comparar cada lado da Equação da Energia:

p A ρ g + V A ² 2 g + z A = p B ρ g + V B ² 2 g + z B + h p

Como V A = V B os termos de velocidade de ambos os lados se cancelam:

p A ρ g + z A = p B ρ g + z B + h p

186000 1000 × 9,81 + 24,5 = 260000 1000 × 9,81 + 9,1 + h p

43,5 = 35,6 + h p

Podemos dizer que o fluido vai de A → B , pois há mais carga ou pressão em A .

Passo 3

Para calcularmos o fator de perda de carga basta terminarmos de resolver a expressão do Passo 2:

43,5 = 35,6 + h p

h p = 7,9   m

Resposta

Escoamento vai de A → B e   h p = 7,9   m .

Exercício Resolvido #3

Um canudo para refrigerante tem 20   c m de comprimento e 2   m m de diâmetro. Ele fornece refrigerante gelado, aproximado como água a 10 ° C , à taxa de 3   c m 3 / s . (a) Qual é a perda de carga através do canudo? Qual é o gradiente de pressão axial ∂ p / ∂ x se o escoamento é (b) verticalmente para cima ou (c) horizontal? O pulmão humano pode fornecer tanta vazão?

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Passo 1

Outro exercício que temos um duto/canudo com escoamento viscoso.

Temos as seguintes informações do enunciado:

L = 20   c m = 0,20   m

d = 2   m m = 0,002   m

Q = 3 c m 3 s = 3 × 10 - 6 m 3 s

ρ á g u a 10 ℃ = 1000 k g m 3

μ á g u a 10 ℃ = 1,307 × 10 - 3   N . s m 2

Passo 2

Devemos agora calcular a perda de carga da água passando pelo canudo:

h p = f L d V ² 2 g

Desta fórmula não conhecemos V nem f .

Podemos calcular V a partir da vazão Q e da área A = π d 2 4 = 3,14 × 10 - 6   m ²

V = Q A

V = 3 × 10 - 6 3,14 × 10 - 6

V = 0,96 m s

Calculamos então o fator de atrito f :

f = 64 R e d = 64 ρ V d μ

f = 64 1000 × 0,96 × 0,002 1,307 × 10 - 3

f = 0,0436

Substituindo em h p : h p = f L d V ² 2 g

h p = ( 0,0436 ) × 0,2 0,002 × ( 0,96 ) ² ( 2 × 9,81 )

h p = 0,2   m

Passo 3

Usando a equação da Energia no caso b vertical, com fluxo para cima, sendo de 1 → 2 :

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Podemos supor que z 1 = 0 , z 2 = L que dependem do nosso referencial;

Que V 1 = V 2 ;

Substituindo,

p 1 ρ g = p 2 ρ g + L + h p

Podemos multiplicar ambos os lados por ρ g :

p 1 = p 2 + ρ g ( L + h p )

p 1 - p 2 = ρ g ( L + h p )

O enunciado nos pede ∂ p ∂ x , que podemos aproximar por

Δ p L = p 1 - p 2 L

Substituindo na equação, ou seja, dividindo ambos lados por L :

p 1 - p 2 L = ρ g L ( L + h p )

Δ p L = ρ g L L + h p

Δ p L = 1000 × 9,81 0,2 0,2 + 0,2

Δ p L = 19620 P a m

Passo 4

Realizando o mesmo procedimento do Passo 3, mas agora com z 1 = z 2 = 0 :

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

p 1 ρ g = p 2 ρ g + h p

p 1 - p 2 ρ g = h p

Dividindo por L :

p 1 - p 2 L = ρ g h p L

Δ p L = 1000 × 9,81 × 0,2 0,2

Δ p L = 9810 P a m

Resposta

Letra a)

h p = 0,2   m

Letra b)

Δ p L = 19620 P a m

Letra c)

Δ p L = 9810 P a m

Exercício Resolvido #4

A fim de determinar a viscosidade de um líquido de densidade 0,95, você preenche, a uma profundidade de 12 cm, um grande recipiente com drenagem por um tubo vertical de 30 cm de comprimento fixado ao fundo. O diâmetro do tubo é 2 mm, e a taxa de drenagem é 1,9 cm³/s. Qual é o valor da viscosidade do fluido? O escoamento no tubo é laminar?

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Passo 1

Neste exercício não temos uma imagem para nos ajudar, portanto vamos esquematizar o problema.

A superfície de entrada é a do topo do tanque e a de saída o tubo final.

Isso nos dá os seguintes valores de entrada e saída que usaremos na nossa equação da energia:

e n t r a d a V 1 = 0 z 1 = 42   c m p 1 = 0

Mas por quê V 1 = 0 ?

Isso é válido para qualquer superfície de controle que apesar de ter uma vazão Q , temo uma área A 1 tão grande que a velocidade que a superfície se move é desprezível.

No caso de p 1 = 0 , estamos trabalhando com pressão manométrica e não a absoluta. Caso fossemos trabalhar com a absoluta utilizaríamos a pressão atmosférica.

Para a sáida temos:

s a í d a V 2 = Q / A 2 z 2 = 0 p 2 = 0

Um líquido ter densidade   0,95 significa:

ρ l í q u i d o ρ á g u a = 0,95

Supondo que ρ á g u a = 1000 k g m 3

ρ l í q u i d o = 950   k g / m ³

Passo 2

Vamos então calcular V 2 = Q / A 2 e substituir os valores do Passo 1, na equação da energia:

V 2 = Q / A 2

V 2 = Q π d ² 4

V 2 = 4 1,9 × 10 - 6 π 2 × 10 - 3 ²

V 2 = 0,605   m / s

Dada a equação da energia:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Substituímos o que já conhecêmos:

0 + 0 + 0,42   m = 0 + 0,605 ² 2 × 9,81 + 0 + h p

Logo,

h p = 0,42 - 0,605 ² 2 × 9,81

h p = 0,4   m

Passo 3

Devemos lembrar da expressão da perda de carga

h p = f L d V ² 2 g

Em que,

f = 64 R e d = 64 ρ V d μ

Como não sabemos se o escoamento é laminar ou não vamos calcular o número de Reynolds, que deve ser menor que 2300 no caso laminar:

R e d = ρ V d μ

R e d = 950 × 0,605 × 0,002 μ < 2300

Logo,

μ > 950 × 0,605 × 0,002 2300

μ > 5 × 10 - 4   k g / ( m . s )

Curiosamente quase todos líquidos se encontram acima deste valor de viscosidade. Normalmente, apenas gases tem viscosidades menores que este valor. Portanto para quase todo líquido este escoamento é laminar.

Obs: Isso não é uma informação que você devia ter nascido junto, fica tranquilo. Mas é bom a gente começar a entender as ordens de grandeza de viscosidade. Gases são 10 - 5 , líquidos 10 - 3 , mais ou menos em torno disso.

Portanto podemos utilizar a expressão que conhecemos para o fator de atrito:

f = 64 R e d

Substituindo na expressão da perda de carga:

h p = 64 R e d L d V ² 2 g

h p = 64 μ ρ V d L d V ² 2 g

Rearranjando em função de μ :

μ = h p ρ g d ² 32 V L

Substituindo os valores, sendo L = 30   c m = 0,3   m :

μ = 0,4 × 950 × 9,81 × ( 0,002 ) ² 32 × 0,605 × 0,3

μ = 2,57 × 10 - 3   k g / ( m . s )

Como já tinhamos hipotetizado o escoamento como sendo laminar, confirmamos a hipóstese:

μ > 5 × 10 - 4   k g / ( m . s )

2,57 × 10 - 3 > 5 × 10 - 4   k g / ( m . s )

Escoamento laminar.

Resposta

μ = 2,57 × 10 - 3   k g / ( m . s )

Escoamento é laminar.

Exercício Resolvido #5

Uma compressão constante sobre o pistão na Figura produz uma vazão Q = 0,15   c m 3 / s através da agulha. O fluido tem ρ = 900   k g / m 3 e μ = 0,002   k g / ( m ∙ s ) . Qual a força F   necessária para manter o escoamento?

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Passo 1

Então galera, mais uma vez aplicaremos a equação da energia e veremos o que nos falta para resolver o problema:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 + h p = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2

Neste caso a perda de carga fica do lado 1, pois é a “saída” do escoamento.

Podemos dizer que não há variação na altura dos cilíndros, logo z 1 = z 2 :

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + h p

Pela expressão Q = V A podemos encontrar quanto valem nossa velocidades em cada parte do escoamento:

V 1 = Q π D 1 ² 4

Passando Q e D 1 para o Sistema Internacional:

Q = 0,15 c m 3 s = 0,15 × 10 - 6 m 3 s

D 1 = 0,25   m m = 0,25 × 10 - 3   m

Substituindo na equação:

V 1 = Q π D 1 ² 4