Diagrama de Moody e fator de atrito

Teoria Completa

Perda de Carga

Fala time!

Hoje vamos conhecer um super aliado nossa nossa saga de calcular a perda de carga distribuida em um escoamento interno e viscoso! Que nada mais é do que a energia que o fluido perde por causa do seu atrito com a superfície do tubo. Essa perda de carga é dada pela seguinte expressão:

h p = f L d V ² 2 g

Conhecemos essa espressão no tópico anterior, e ela é uma função de f , L ,   d ,   V ,   g . Que são, respectivamente , o fator de atrito, comprimento do duto, diâmetro do duto, velocidade do escoamento e a aceleração da gravidade.

MAS, ATENÇÃO! Hoje os nossos grandes protagonistas serão a rugosidade do tubo ( ϵ ), o número de Reynolds ( R e d ) e o mais importante, fator de atrito ( f ), afinal é ele que precisamos para calcular a perda de carga!

Rugosidade

O valor de rugosidade do tubo ( ϵ ) geralmente vai ser dado, ou você pode consultar em uma tabelinha que eu vou deixar anexada pra você.

Sabendo esse valor, vai ser interessante adimensionalizar ele, então vamos dividi-lo pelo diâmetro do tubo, com isso teremos: ϵ / d

Reynolds

Temos 3 possíveis comportamentos para o escoamento que são determinados por Reynolds. Para R e d < 2300 o escoamento é laminar e quando R e d > 2300   ele começa a passar por uma região de transição até chegar em um escoamento completamente turbulento.

Fator de Atrito

Agora finalmente vamos falar de fator de atrito ( f )!

Para escoamentos laminares calculamos o fator de atrito usando a seguinte expressão:

f = 64 R e d

Esse vai ser o caso mais simples, aqui os efeitos da rugosidade vão ser desprezíveis e f vai ser uma função apenas de R e d .

Para um a zona de transição o fatore de atrito dependem tanto do valor de R e d quanto de ϵ / d e é dado a partir da seguinte expressão:

1 f 1 / 2 = - 2   log ⁡ ϵ / d 3,7 + 2,51 R e d f 1 / 2

Perceba que a expressão de f depende de f . E isso torna bem complicado resolver os problemas.

E por fim, quando escoamento é completamente turbulento o fator de atrito e uma função da rugosidade relativa como mostra a seguinte expressão:

1 f 1 / 2 = - 2   log ⁡ ϵ / d 3,7

O poblema é que é bastante dificil delimitar com precisão a zona de transição entre o escoamento laminar e turbuleto e além disso a expressão para a zona de transição é um pouco difícil de calcular.

É ai que aparece o nosso salvador da pátria, que é o Diagrama de Moody:

Entendeu agora por que eu disse que os nossos protagonistas seriam R e d , f e ϵ ?

O Diagrama de Moody relaciona essas 3 variáveis: O R e d no eixo horizontal, f no eixo vertical à esquerda e no eixo vertical à direita vemos a origem de diversas curvas, cada curva representa um valor de ϵ / d em função dos R e d .

E como usar esse diagrama cheinho de informações? Para isso vamos de passo-a-passo!

  1. Calcular R e d e ϵ / d
  2. Traçar uma reta vertical com origem no ponto onde se encontra o valor de R e d calculado.
  3. Procurar uma curva que tenha origem no valor de ϵ / d calculado.
  4. Siga essa curva até ela se encontrar com a reta vertical feita anteriormente, marque esse ponto de encontro.
  5. A partir do ponto encontrado trace uma reta horizontal para a esquerda, até o eixo do fator de atrito

Pronto! Agora você sabe o valor de f !

Caso você não encontre uma curva com origem exatamento no ponto com valor de ϵ / d calculdo, não tem problema, trace uma curva intermediária entre as curvas existentes. Assim você já diminui um pouco o erro no valor de f encontrado!

Regiões do Diagrama de Moody:

Agora que você aprendeu a achar o fator de atrito, vamos analisar outras informações que o Diagrama de Moody fornece.

Exisem 4 regiões definidas:

-Turbulência completa, definida pela linha tracejada, todo escoamento à direita é turbulento;

-Escoamento laminar, definida pela linha continua/tracejada à esquerda, onde os fatores de atrito são f = 64 R e d ;

-Temos a zona de transição, onde os efeitos de rugosidade e velocidade se misturam.

-E por fim uma zona crítica, em que há uma migração da zona de transição para a zona laminar representada pelos “quadradinhos” coloridos. Não existem dados confiáveis para o atrito nessa região, que está em torno de 2000 e 4000 no número de Reynolds.

E se eu não tiver o Diagrama de Moody em mãos?

Existe uma representação alternativa a expressão que leva ao Diagrama de Moody, que torna a resolução dos problemas a mão muito mais simples, mas não tão mas simples que simplesmente olhar o Diagrama de Moody:

1 f 1 / 2 ≈ - 1,8 log ⁡ 6,9 R e d +   ϵ / d 3,7 1,11

E por fim, por que é tão importante calcular a perda de carga?

Sabendo a perda de carga de determinado escoamento ( h p ), podemos por exemplo achar qual a potência necessária que uma bomba deve ter para vencer essa perca! Da só uma olhada nessa expressão da carga fornecida por uma bomba:

h b o m b a = η P o t ρ g Q

Nessa expressão temos h b o m b a , η ,   P o t ,   ρ ,   g   e   Q . Que são, respectivamente, a carga fornecida pela bomba, seu rendimento, sua potência, a densidade do fluido, a gravidade e a vazão.

E agora, como prometido, a tabela de rugosidade:

Anexo 1 – Tabela de Rugosidade ϵ

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Exercício Resolvido #1

Mercúrio a 20 ° C escoa por 4   m de tubo de vidro de   7   m m   de diâmetro a uma velocidade média de 5   m / s . Calcule a perda de carga em metros e a queda de pressão em k P a .

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Passo 1

Mais um problema de perda de carga, mas agora devemos ver em que faixa de Reynolds o escoamento se encontra e assim descobrirmos a perda de carga.

Para calcular R e d = ρ V d μ precisamos apenas das propriedades do mercúrio a 20 ℃ :

ρ = 13550 k g m 3

μ = 1,56 × 10 - 3   k g / ( m ∙ s )

Do enunciado:

V = 5 m s

d = 7   m m = 0,007   m

Logo

R e d = ρ V d μ = 13550 ∙ 5 ∙ 0,007 1,56 × 10 - 3

R e d = 304006

Como o tubo de vidro é liso, olhando no diagrama de Moody estamos em região de transição.

Batendo a curva de tubos lisos com o eixo vertical:

f = 0,014

Outros dados do enunciado:

L = 4   m

Passo 2

Substituindo os valores na expressão de perda de carga:

h p = f L d V ² 2 g

h p = 0,014 ∙ 4 0,007 ∙ 5 ² 2 ∙ 9,81

h p = 10,19   m

Passo 3

Para calcularmos a perda de pressão basta substituirmos o que conhecemos na expressão da Equação da Energia:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

V 1 = V 2 , z 1 = z 2 , logo,

p 1 ρ g = p 2 ρ g + h p

p 1 - p 2 ρ g = h p

p 1 - p 2 = ρ g h p

p 1 - p 2 = 13550 ∙ 9,81 ∙ 10,19

p 1 - p 2 = 1354510   P a = 1354,51   k P a

Resposta

h p = 10,19   m

p 1 - p 2 = 1354,5   k P a

Exercício Resolvido #2

Querosene a 20 ° C é bombeado a   0,15   m 3 / s   por 20   k m de tubo horizontal de ferro fundido de 16   c m de diâmetro. Calcule a potência necessária de entrada em k W , se as bombas têm 85 % de rendimento.

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Passo 1

Vamos com calma.

Temos mais um problema de dutos, só que neste caso devemos queremos instalar uma bomba de 85 % de rendimento. Se analisarmos a equação da energia com adição de energia da bomba:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 + h b o m b a = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Veremos que pelo tubo ser horizontal, sem alteração na seção transversal, e com mesma pressão em cada ponta:

p 1 = p 2

V 1 = V 2

z 1 = z 2

Portanto temos o problema reduzido a expressão:

h b o m b a = h p

Onde,

h p = f L d V ² 2 g

E,

h b o m b a = η P o t ρ g Q

O enunciado nos fornece:

Q = 0,15 m 3 s L = 20   k m d = 16   c m η = 0,85

Propriedades do querosene a 20 ℃ :

ρ = 804   k g / m ³ μ = 1,92 × 10 - 3 k g / ( m . s )

Rugosidade do tubo de ferro fundido:

ϵ = 0,26   m m

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor do número de Reynolds para sabermos que caso de escoamento estamos:

R e d = ρ V d μ

Onde

V = Q A

V = 0,15 π 0,16 ² 4

V = 7,46   m / s

Substituindo os valores na expressão do Reynolds:

R e d = 804 × 7,46 × 0,16 1,92 × 10 - 3

R e d = 499820 > 2300

Escoamento turbulento!

Calculando a rugosidade relativa ϵ / d

ϵ d = 0,26 × 10 - 3 0,16

ϵ d = 0,001625

Para estes valores de ϵ / d e R e d , no Diagrama de Moody:

f ≈ 0,022

Agora calcularemos a perda de carga h p

h p = f L d V 2 2 g

h p = 0,022 × 20 × 10 3 0,16 × 7,46 ² 2 × 9,81

h p = 7800   m

Passo 3

Lembrando que temos h p = h b o m b a

h p = η P o t ρ g Q

P o t = h p ρ g Q η

Substituindo os valores:

P o t = 7800 × 804 × 9,81 × 0,15 0,85

P o t = 10856553   W = 10856,5   k W

Resposta

10856,5   k W

Exercício Resolvido #3

O escoamento no tubo da Figura é produzido pelo ar pressurizado no reservatório. Que pressão p 1 manométrica é necessária para fornecer uma vazão Q = 60 m 3 / h de água a 20°C?

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Passo 1

Mais uma vez, vamos olhar a equação da energia e descobrir pelo enunciado qual valor de cada propriedade na entrada e na saída.

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Queremos descobrir p 1 manométrica.

Vamos supor que o reservatório é muito grande, ou seja, não há movimentação na superfície que seja considerável, logo V 1 = 0 .

Sabemos também que:

z 1 = 10   m

z 2 = 80   m

Na figura temos que o jato na saída é livre, logo p 2 = 0 , na escala manométrica.

Se conhecemos o diâmentro do duto e a vazão, podemos calcular a velocidade:

V = Q A

V 2 = 4 Q π d ²

V 2 = 4 Q π d ²

Onde,

Q = 60 m 3 h = 0,0167 m 3 s

d = 5   c m = 0,05   m

Logo nosso V 2 é:

V 2 = 4 × 0,0167 π 0,05 ²

V 2 = 8,5   m / s

Nossa equação fica:

p 1 ρ g = V 2 ² 2 g + z 2 - z 1 + h p

Onde não conhecemos ainda h p .

Passo 2

Antes de calcularmos h p , devemos saber se o escoamento é laminar ou não.

Para isso calculamos o número de Reynolds:

R e d = ρ V d μ

Água a 20 ℃ tem as seguintes propriedades, ρ = 1000   k g / m ³ e μ = 0,001   k g / ( m . s )

R e d = 1000 × 8,5 × 0,05 0,001

R e d = 425000

Temos escoamento não-laminar.

Como o enunciado não informou nada, vamos supor que o tubo seja liso. A partir do Diagrama de Moody:

f ≈ 0,013

Substituindo na expressão de h p ,

h p = f L d V ² 2 g

h p = 0,013 60 + 80 + 30 0,05 8,5 ² 2 × 9,81

h p = 162,76   m

Passo 3

Substituindo na expressão de p 1

p 1 ρ g = V 2 ² 2 g + z 2 - z 1 + h p

p 1 = ρ g V 2 ² 2 g + z 2 - z 1 + h p

p 1 = 1000 × 9,81 8,5 ² 2 × 9,81 + 80 - 10 + 162,76

p 1 = 2319500   P a

Resposta

p 1 = 2319500   P a

Exercício Resolvido #4

Qual nível h deve ser mantido na Figura para fornecer uma vazão de 0,425   L / s pelo tubo de aço comercial de 13   m m de diâmetro?

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Passo 1

Como sempre galera, devemos ver o que precisamos calcular da equação da energia:

p 1 ρ g + V 1 ² 2 g + z 1 = p 2 ρ g + V 2 ² 2 g + z 2 + h p

Do desenho, podemos dizer que a pressão de entrada é a atmosférica, ou na escala manométrica.

p 1 = p 2 = 0

Podemos dizer também que,

z 1 = h

z 2 = 0

Supondo que o tanque de água tem uma superfície muito grande, logo:

V 1 = 0

O que nos resta de expressão:

h = V 2 ² 2 g + h p

Passo 2

Devemos calcular a velocidade de saída V 2 ,

V 2 = Q A

V 2 = 4 Q π D ²

Sabemos do enunciado que:

Q = 0,425 L s = 0,425 d m 3 s = 0,425 × 10 - 3   m ³ / s

D = 13   m m = 0,013   m

Substituindo,

V 2 = 4 0,425 × 10 - 3 π 0,013 ²

V 2 = 3,2   m / s

Passo 3

Agora para a perda de carga, calcularemos o Reynolds para termos o fator de perda de carga f :

R e d = ρ V D μ

Água a 20 ℃ : ρ = 1000   k g / m ³ e μ = 0,001   k g / ( m . s )

R e d = 1000 × 3,2 × 0,013 0,001

R e d = 41600

Temos um escoamento não laminar.

A rugosidade relativa é de,

ϵ D = 0,046 × 10 - 3 0,013 = 0,00354

O que nos leva a um fator de perda de carga no Diagrama de Moody:

f ≈ 0,028

Logo a perda de carga h p tem o seguinte valor,

h p = f L D V ² 2 g

h p = 0,028 24,4 0,013 3,2 ² 2 × 9,81

h p = 27,4   m

Passo 4

Subsituindo a perda de carga e a velocidade na expressão de h :

h = V 2 ² 2 g + h p

h = 3,2 ² 2 × 9,81 + 27,4

h = 27,9   m

Resposta

h = 27,9   m

Exercício Resolvido #5

Os dados a seguir foram obtidos para o escoamento de 20   m 3 / h de água a 20 ° C por um tubo com forte corrosão, de 5   c m de diâmetro, que está inclinado para baixo a um ângulo de 8 ° : p 1 = 420   k P a , z 1 = 12     m , p 2 = 25 0   k P a , z 2 = 3   m . Calcule (a) a rugosidade relativa do tubo e (b) a variação percentual na perda de carga se o tubo fosse liso e a vazão a mesma.

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Passo 1

No enunciado ele já nos fornece o valor de algumas propriedades que aplicaremos na equação da energia:

p 1 = 420   k P a z 1 = 12   m p 2 = 250   k P a z 2 = 3   m